Maton pituus on R. Se on kiinnitetty toisesta päästä. Toisesta päästä sitä venytetään vakionopeudella L. Matto venyy tasaisesti.
Juoksiaja lähtee juoksemaan venytyspäästä samalla hetkellä kuin venytys alkaa tasaisella nopeudella S. Millä keskimääräisellä nopeudella juoksija saapuu toiseen päähän (kiinnitettyyn päähän).
(Tähän saatiin jo joitain vastauksia, mutta jos saivarrellaan, niin tarkkaa vastausta ei vielä saatu.)
Juoksiaja lähtee juoksemaan venytyspäästä samalla hetkellä kuin venytys alkaa tasaisella nopeudella S. Millä keskimääräisellä nopeudella juoksija saapuu toiseen päähän (kiinnitettyyn päähän).
(Tähän saatiin jo joitain vastauksia, mutta jos saivarrellaan, niin tarkkaa vastausta ei vielä saatu.)
Vastaukset 4
Vanhimmat
Hän saapuu nopeudella S, koska alkupäästään kiinnitetty matto ei veny viimeisen askeleen kohdalla. Ei aikanaan, jos hän ottaa maaliintuloaskeleen liikkumattomalla kohdalla. Jos hän ponnistaa matolta kiinnityskohtaa ennen, on vauhti hitaampi.
Olkoon maton kiinnityskohta origossa ja venytys positiiviseen suuntaan. Olkoon r(t) maton pituus hetkellä t, jolloin sillä on yhtälö
r(t) = R t L
Kohdassa y matto viettää vedon suuntaan nopeudella L y / r(t) ja juoksija juoksee toiseen suuntaan nopeudella S. Tällöin siis jos juoksijan paikka on x(t), niin se toteuttaa yhtälön
dx/dt = L x / r(t) - S
Hetkellä 0 juoksija on kohdassa x(0) = R ja tehtävänä on määrittää ajanhetki T, jolloin x(T) = 0.
Ratkaisu yhtälöön saadaan sopivalla symbolisen laskennan softalla (tai integroivalla tekijällä ruutupaperilla):
x(t) = (-S*ln(R t*L) S*log(R) L) * (R t*L) / L
joka on nolla kun
T = R exp(L/S)/L - R/L
Jos S >= L, niin kuljettu matka on R, keskinopeus on R/T eli
keskinopeus = L / (exp(L/S) - 1)
Jos taas S < L, niin kuljetaan vähän aikaa väärään suuntaan ja tämäkin pitää laskea mukaan. Matkaan tulee lisänä kaksi kertaan x(t):n maksimiarvo miinus R, mutta joku muu saa laskea tämän.
Pitää tarkistaa...
9,8 km/h maankeskipisteestä mitattuna.