Miten ratkaisen seuraavanlaisen yhtälön:
y'(x) k*y(x) = δ(x)
Missä δ(x):llä on ominaisuudet
δ(x) = 0 , x ≠ 0
δ(x) = ∞ , x = 0
∫δ(x)dx = 1 (integroimisalue -∞ ... ∞)
Tämä ei ole mikään koulutehtävä.
y'(x) k*y(x) = δ(x)
Missä δ(x):llä on ominaisuudet
δ(x) = 0 , x ≠ 0
δ(x) = ∞ , x = 0
∫δ(x)dx = 1 (integroimisalue -∞ ... ∞)
Tämä ei ole mikään koulutehtävä.
Vastaukset 5
Vanhimmat
=> SF(s) f`(0) kF(s) f(0)=1
=>F(s)= (1 c1 c2)/(s k)
f(x)= C*e^(-kx)
Meniköhän oikein. Mutta anyway Laplace pitäis
toimia tässä tapauksessa, kun tuolla on oikealla
puolella tuo distribuutio.
Eli ratkaisu on sama kuin homogeenisen yhtälön ratkaisu? Noh, niinhän sen varmaan pitääkin olla kun δ(x) = 0 kaikkialla muuaalla kuin kohdassa x = 0.
Mutta kun sijoittaa y(x)= C*e^(-kx) ja laskee arvon pisteessä x = 0
-k*C*e^(-kx) k*C*e^(-kx) = δ(x)
-k*C k*C = δ(0)
eli δ(0) = 0, mikä on epätosi. (piti olla δ(0) = ∞)
???????
En oikein käsittänyt tuota Laplace-muunnosta...
Pitäisiköhän käänteismuunnoksen olla muotoa
y(x) = C u(x) exp(-kx)
jossa u(x) on askelfunktio?
Kaivoin matematiikan kirjani esille ja luin kiltisti kohdan Laplace -muunnoksesta.
eli
y'(x) k*y(x) = δ(x)
-> -y(0) s*L[y(x)] k*L[y(x)] = L[δ(x)] = 1
-> L[y(x)] = (1 y(0))/(s k)
Taulukon mukaan laplace muunnosta 1/(s-a) vastaa funktio y(x) = e^(a*x) eli nyt a = -k
ja saadaan
y(x) = (1 y(0))*e^(-k*x)
Mikä todellakin on muotoa
y(x)= C*e^(-kx) kuten nimimerkki "menee" kirjoitti
(missä C = 1 y(0) )
Ja todellakin vaikuttaa että yhtälöä ei voi tarkistaa alkeistyyliin, sillä yhtälö ei vain toteudu. Johtuu varmaan siitä että δ(x) ei ole mikään alkeisfunktio.
Niin ja siis L[δ(x)] = int(e^(sx)*δ(x),x=0..∞) = 1
sillä δ(x):n ominaisuuksien nojalla
int(g(x)*δ(x), x=-∞..∞) = g(0) (nyt g(0) = 1)
ja koska δ(x) = 0 välillä [-∞,0[ niin intergointialue voidaan muutta x=-∞..∞ -> x = 0..∞
Mitään kiellettyä ei siis ole tehty.
Eikös näin ole??
Tuolla askelfunktiokommentilla hain sitä, että 1/(s-a):n käänteismuunnos on tarkkaan ottaen
y(x) = u(x) exp(a*x)
eli
y(x) = 0, kun x < 0
y(x) = exp(a*x), kun x > 0
Ja derivaatta kohdassa 0 on y'(0) = ∞ johtuen tuosta askelfunktiosta u(x), jonka derivaatta on
formaalisti delta-funktio:
u'(x) = δ(x).