Mistä johtuu, että tiettyjä intgraaleja ei voida esittää alkeisfunktioina tai niiden yhdistelminä? Jos asia on helppo selittää, niin kiitoksia, jos sen joku viitsii tehdä.
Integraaleista
Mursu_
3345
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Eipä siihen taida mitään helppoa vastausta olla. Jostakin syystä vaan integraalifunktioita (tai yleisemmin differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja) on enemmän kuin alkeisfunktioiden yhdistelminä esitettävissä olevia funktioita.
Tuolla on aiheesta jotain:
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory
Joo, osasin arvellakin, ettei asia ole niin yksinkertainen.
Asia tuli vain mieleen, kun leikin tuolla jollain nettisaitilla, jossa oli joku apletti joka osasi integroida symbolisesti. Hämmästyin vain, kun tuloksena tuli tietyissä tapauksissa jotain, mikä sisälsi esim. gamma-funktiota, tai jotain nimeltään muistaakseni hypergeometristä funktiota (mikä ihme sitten mahtaakaan olla?). Ainakin joku esimerkki taisi olla muotoa tyyliin e^-x^2, mistä tuli tuloksena jotain, mikä menee minun ymmärrykseni yli, että miksi näin?
Galois-teoriassahan voidaan todistaa että tiettyjä funktioita, kuten exp(-x^2), ei voida integroida alkeisfunktioiden avulla.
Gammafunktio on kertomafunktion laajennus kompleksiluvuille ja ei-kokonaisluvuille. Tämä funktio määritellään suljetussa muodossa seuraavasti:
Gamma(z) = ∫ t^(z-1)exp(-t) dt
Ja pari kätevää ominaisuutta:
Gamma(z 1) = z!
Gamma(z 1) = zGamma(z)
Myös muita ominaisuuksia löytyy mutta ne jääkööt nyt sinun itsesi varaan. :) Mainittakoon sovelluksista nyt ainakin gammajakauma ja differentiaaliyhtälöiden puolelta Laplace-muunnokset.
Hypergeometrisesta funktiosta sen verran että gammajakauman tapaan kyseessä on myös erikoisfunktio (kuuluu siis samaan kategoriaan gammafunktion, besselin funktion, elliptisten integraalien sun muiden härpäkkeiden kanssa) joka perustuu potenssisarjoihin.
Hypergeometrinen funktio on (yllättävää?) hypergeometrisen differentiaaliyhtälön
z(1-z) d^2w/dz^2 [c-(a b 1)]dw/dz - abw = 0
ratkaisuja.
Kaikki loppujen lopuksi palautuu Galois-teoriaan. Toivottavasti edes vähän selvensi mikä gammafunktio tai hypergeometrinen funktio on. Jos hallitset vähän differentiaaliyhtälöiden ja analyysin teoriaa niin tämän pitäisi olla pässinlihaa. :)