Todista, että kaikille a, b, c > 0, pätee epäyhtälö
sqrt(a^2 - ab b^2) sqrt(b^2 -bc c^2) >sqrt(a^2 ab c^2)
sqrt(a^2 - ab b^2) sqrt(b^2 -bc c^2) >sqrt(a^2 ab c^2)
Paha epäyhtälö
_Jones_
6691
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Epäyhtälö ei ole totta. Tämän näkee helposti asettamalla a = 5, b = 1, c = 1/3.
Viimeinen neliöjuuri on tarkoitus varmaankin olla a^2 ac c^2. Tämän voi todistaa helposti kun asettaa OA = a, OB = b, OC = c. Tällöin AOB = BOC = 60 astetta.
Eikö tuo ole pelkkä erikoistapaus a=b=c?
Dawnbringer kirjoitti ehkä vähän huolimattomasti.
Epäyhtälö sqrt(a^2 - ab b^2) sqrt(b^2 - bc c^2) >= sqrt(a^2 ac c^2) on tosiaan voimassa kaikilla a,b,c>0. Tämä voidaan todistaa geometrian avulla: Olkoon R^2:ssa pisteet A, B, C ja origo O siten, että |OA|=a, |OB|=b, |OC|=c ja kulma AOB=kulma BOC=60 astetta. Sovelletaan kosinilausetta ja epäyhtälö seuraa helposti.
Aiheesta keskusteltu myös osoitteessa
http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtopic.php?t=13131
Kun piirsin kuvan ja totesin samalla ettei toteudu
kun a=2 , b=1 ,c=2
Siis tuo sinun yhtälösi toteutuu kyllä, kun olet lisännyt sinne tuon yhtäsuuruusmerkin,mitä siellä ei aikaisemmin ollut.
Jos tuo OB piirretään x-akselille ,ja OA:n ja OC:n
pituuksiksi asetetaan 1 ,ja kulmaksi x (rad) ,sekä
OB:n pituudeksi 1/cosx ,
saadaan kuvio ,jota käytetään raja-arvon
sinx/x =1 ,x lähenee nollaa todistuksessa.
Onko tällä epäyhtälöllä ja tuolla raja-arvolla
jotain tekemistä keskenään?