"Piistä" taas kerran

Niin, mutta siis eikös sitä juuri pidetä oletuksena, että piin äärettömästä desimaalijonosta löytyy äärettömästi erilaisia yhdistelmiä. Eihän se pakosta ole totta, mutta jos väitetään niin...

Niin sellasta, että pystyykö jokaisen olemassa olevan irrationaaliluvun sanomaan tavallaan irrationaalilukuna samalla tavoin kun piin tai sqrt2 ym. sellaiset luvut, siis ikään kuin lyhyenä lukuna vaan? Siis kyllähän aina pystyy sanomaan vain pitempiä ja pitempiä desimaali jonoja, mutta onko niille kaikille siis olemassa alkuperäinen laskuluku? Tämä on nyt vähän vaikea selittää, mutta toivottavasti ymmärrätte.

Vielä yksi juttu. kirjoitti:

Niin sellasta, että pystyykö jokaisen olemassa olevan irrationaaliluvun sanomaan tavallaan irrationaalilukuna samalla tavoin kun piin tai sqrt2 ym. sellaiset luvut, siis ikään kuin lyhyenä lukuna vaan? Siis kyllähän aina pystyy sanomaan vain pitempiä ja pitempiä desimaali jonoja, mutta onko niille kaikille siis olemassa alkuperäinen laskuluku? Tämä on nyt vähän vaikea selittää, mutta toivottavasti ymmärrätte.

Lukuteoriassa kompleksiluvut jaetaan kahteen luokkaan: algebrallisia lukuihin ja transkendenttilukuihin. Algebralliset luvut ovat sellaisia lukuja, jotka ovat saadaan kokonaislukukertoimisten polynomien nollakohtana. Ei-algebralliset lukuja kutsutaan transkendentaalisiksi luvuiksi. Niitä on eräässä mielessä huomattavasti paljon enemmän kuin algebrallisia lukuja(joiden joukko on "vain" numeroituva). Tässä mielessä vastaus kysymykseesi saattaisi olla ei, mikäli olen perillä kysymyksesi ideasta.

Tosin pii ja neperin luku ovat transkendenttilukuja, sillä ainoa järkevä lukuteoreettinen tapa määritellä ne on päättymättömien summien raja-arvona, joten ne eivät ole samanlaisia irrationaalilukuja kuten esimerkiksi neliöjuuri kahdesta, joka on polynomin x^2-2 nollakohta.

Sitten tietenkin matemaattisessa logiikassa puhutaan laskettavista numeroista, jotka ovat reaalilukuja, joiden mielivaltaisen tarkka likiarvo voidaan aina laskea äärellisellä ja päättyvällä algoritmilla. Kaikki algebralliset numerot ovat laskettavia ja lisäksi ymmärtääkseni myös pii ja neperin luku ovat laskettavia. Mutta siltikään laskettavat luvut ovat vain pisara reaalilukujen meressä, sillä niitäkin vain "yhtä monta" kuin luonnollisia lukuja ja ei-laskettavien reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Eli tässäkin mielessä vastaus kysymykseesi tuntuisi olevan, että ei.

...ei kirjoitti:

Lukuteoriassa kompleksiluvut jaetaan kahteen luokkaan: algebrallisia lukuihin ja transkendenttilukuihin. Algebralliset luvut ovat sellaisia lukuja, jotka ovat saadaan kokonaislukukertoimisten polynomien nollakohtana. Ei-algebralliset lukuja kutsutaan transkendentaalisiksi luvuiksi. Niitä on eräässä mielessä huomattavasti paljon enemmän kuin algebrallisia lukuja(joiden joukko on "vain" numeroituva). Tässä mielessä vastaus kysymykseesi saattaisi olla ei, mikäli olen perillä kysymyksesi ideasta.

Tosin pii ja neperin luku ovat transkendenttilukuja, sillä ainoa järkevä lukuteoreettinen tapa määritellä ne on päättymättömien summien raja-arvona, joten ne eivät ole samanlaisia irrationaalilukuja kuten esimerkiksi neliöjuuri kahdesta, joka on polynomin x^2-2 nollakohta.

Sitten tietenkin matemaattisessa logiikassa puhutaan laskettavista numeroista, jotka ovat reaalilukuja, joiden mielivaltaisen tarkka likiarvo voidaan aina laskea äärellisellä ja päättyvällä algoritmilla. Kaikki algebralliset numerot ovat laskettavia ja lisäksi ymmärtääkseni myös pii ja neperin luku ovat laskettavia. Mutta siltikään laskettavat luvut ovat vain pisara reaalilukujen meressä, sillä niitäkin vain "yhtä monta" kuin luonnollisia lukuja ja ei-laskettavien reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Eli tässäkin mielessä vastaus kysymykseesi tuntuisi olevan, että ei.

Joo, just tuota tarkoitin. Kiitos hyvästä selvennyksestä. Eikös sitä juuri sanota "äärettömien joukkojen mahtavudeksi", kun jossain on enemmän vaikka molemmissa on äärettömästi alkioita. Juuri tuo polynomijen nollakohtien juttu nyt palasikin mieleen ja olin kuullut noista transkendenttiluvuista. Nyt ne selkis.

Maxwellin epäyhtälö kirjoitti:

Joo, just tuota tarkoitin. Kiitos hyvästä selvennyksestä. Eikös sitä juuri sanota "äärettömien joukkojen mahtavudeksi", kun jossain on enemmän vaikka molemmissa on äärettömästi alkioita. Juuri tuo polynomijen nollakohtien juttu nyt palasikin mieleen ja olin kuullut noista transkendenttiluvuista. Nyt ne selkis.

En oikein ymmärrä, mitä yrität tuolla mahtavuuteen liittyvällä kommentilla sanoa, mutta joukot ovat yhtä mahtavia kun niiden välille voidaan muodostaa bijektio. Joukko A on mahtavampi kuin joukko B, mikäli ne eivät ole yhtä mahtavia ja B on yhtä mahtava jonkin joukon A aidon osajoukon kanssa.

...ei kirjoitti:

Lukuteoriassa kompleksiluvut jaetaan kahteen luokkaan: algebrallisia lukuihin ja transkendenttilukuihin. Algebralliset luvut ovat sellaisia lukuja, jotka ovat saadaan kokonaislukukertoimisten polynomien nollakohtana. Ei-algebralliset lukuja kutsutaan transkendentaalisiksi luvuiksi. Niitä on eräässä mielessä huomattavasti paljon enemmän kuin algebrallisia lukuja(joiden joukko on "vain" numeroituva). Tässä mielessä vastaus kysymykseesi saattaisi olla ei, mikäli olen perillä kysymyksesi ideasta.

Tosin pii ja neperin luku ovat transkendenttilukuja, sillä ainoa järkevä lukuteoreettinen tapa määritellä ne on päättymättömien summien raja-arvona, joten ne eivät ole samanlaisia irrationaalilukuja kuten esimerkiksi neliöjuuri kahdesta, joka on polynomin x^2-2 nollakohta.

Sitten tietenkin matemaattisessa logiikassa puhutaan laskettavista numeroista, jotka ovat reaalilukuja, joiden mielivaltaisen tarkka likiarvo voidaan aina laskea äärellisellä ja päättyvällä algoritmilla. Kaikki algebralliset numerot ovat laskettavia ja lisäksi ymmärtääkseni myös pii ja neperin luku ovat laskettavia. Mutta siltikään laskettavat luvut ovat vain pisara reaalilukujen meressä, sillä niitäkin vain "yhtä monta" kuin luonnollisia lukuja ja ei-laskettavien reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Eli tässäkin mielessä vastaus kysymykseesi tuntuisi olevan, että ei.

"Sitten tietenkin matemaattisessa logiikassa puhutaan laskettavista numeroista, jotka ovat reaalilukuja, joiden mielivaltaisen tarkka likiarvo voidaan aina laskea äärellisellä ja päättyvällä algoritmilla."

Jep. Yleensä tosin algoritmin käsite pitää sisällään oletuksen sen äärellisestä koosta ja ajon päättymisestä.

"ymmärtääkseni myös pii ja neperin luku ovat laskettavia."

Juu, ovathan ne. Oikeastaan onkin vaikea keksiä lukuja, jotka eivät ole laskettavia, mutta on niitäkin (esim. Chaitinin omega).

"Mutta siltikään laskettavat luvut ovat vain pisara reaalilukujen meressä, sillä niitäkin vain "yhtä monta" kuin luonnollisia lukuja ja ei-laskettavien reaalilukujen joukko on ylinumeroituva."

Tämä onkin mielenkiintoinen asia. Olemme määritelleet kompleksilukujen joukon, joka on ylinumeroituva, mutta emme voi mitenkään tuottaa tuosta joukosta kuin numeroituvan ilmentymän :)