Tämä nyt on tietysti vanha tehtävä ja täälläkin varmaan ollut,mutta kun en ole tätä ratkaistuna missään nähnyt,niin laitan sen tähän.
Määrää luku x siten,että sekä
x*x 5
x*x
x*x-5
ovat kaikki joidenkin kokonais-tai murtolukujen neliöitä.
Tiedän kyllä vastauksen,mutta ratkaisutapaa en.
Osaakohan joku?
Määrää luku x siten,että sekä
x*x 5
x*x
x*x-5
ovat kaikki joidenkin kokonais-tai murtolukujen neliöitä.
Tiedän kyllä vastauksen,mutta ratkaisutapaa en.
Osaakohan joku?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Tehtävä on versio kongruenttien lukujen etsimisestä.
Määritelmä:
Jos on olemassa rationaaliluku x siten että
x^2-n ja
x^2 n
ovat rationaalilukujen neliöitä, niin n:ää sanotaan kongruentiksi.
Eli yo. tehtävässä etsitään todistusta sille että 5 on kongruentti.
Ongelma on ainakin 1000v. vanha:
http://www.iisc.ernet.in/academy/resonance/Aug1998/pdf/Aug1998p33-45.pdf
Varsinaisessa ratkaisussa, jonka olen nähnyt sijoitetaan sopivia neliömuotoja kaavoihin ja päätellään ratkaisut. Yleisiä kaikki ratkaisut antavia tapoja ei kai tunneta.
Ratkaisuhan on esim x=41/12, jolloin
x^2 5=(49/12)^2 ja
x^2-5=(31/12)^2.
Muitakin löytyy kuten:
x=3344161/1494696
ja
x=654686219104361/178761481355556
Tuota ei siis voi ratkaista kuin päättelemällä ja kokeilemalla.
Nyt olisi mielenkiintoista tietää kuinka Fibonacci tuon ratkaisunsa 41/12 silloin aikanaan löysi,ja mikäli oikein ymmärsin niin ratkaisu löytyy jostakin hänen kirjastaan.
Noiden muiden ratkaisujen löytäminen on tainnut jäädä tietokoneaikaan.
Kirja jossa mainittiin nuo muut ratkaisut on
Beiler:"Recreations in the theory of numbers", 1963
Siinä ei minusta suoraan sanottu miten ratkaisut on löydetty...