Ensimmäinen:
Jaa voimavektori F = -3i j 5k kahteen komponenttiin, joista toinen on suoran plaa plaa suuntainen ja toinen tason -x y 2z = 0 suuntainen.
Mistä tiedän mikä on tason -x y 2z = 0 suunta? Onko se tason normaalin suunta vai mikä?
Toinen:
Määritä tasojen 7x - 5y z - 6 = 0 ja -x - y z 2 = 0 muodostamien diedrikulmien puolittajatasot.
Tiedän kyllä diedrikulmien puolittajakulmat, mutta entäs siitä eteenpäin?
Jaa voimavektori F = -3i j 5k kahteen komponenttiin, joista toinen on suoran plaa plaa suuntainen ja toinen tason -x y 2z = 0 suuntainen.
Mistä tiedän mikä on tason -x y 2z = 0 suunta? Onko se tason normaalin suunta vai mikä?
Toinen:
Määritä tasojen 7x - 5y z - 6 = 0 ja -x - y z 2 = 0 muodostamien diedrikulmien puolittajatasot.
Tiedän kyllä diedrikulmien puolittajakulmat, mutta entäs siitä eteenpäin?
Vastaukset 12
Vanhimmat
Ensimmäinen tehtävä on mielestäni huonosti muotoiltu. En ole koskaan kuullutkaan tason suunnasta. Tasonhan virittää kaksi vektoria, joiden lineaarikombinaationa saadaan monta muuta tason vektoria.
Ensimmäinen taso saadaan toisesta kääntämällä toista tasoa tasojen leikkaussuoran suhteen diedrikulman verran (vai oliko se miinus diedrikulma, en muista määriteltiinkö diedrikulma suunnatuksi vai ei). Puolittajatasot saat kiertämällä toista tasoa puolet diedrikulmasta. Lisäksi voit laskea sen suoran yhtälön, jonka suhteen tasoa kierretään. Tämän perusteella voit määrittää puolittajatason yhtälön.
Vektori on "tason suuntainen" jos se on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan.
Jos se vektori pitää jakaa vaan kahteen komponenttiin ,joista toinen on tuon tason suuntainen ,ja toinen suoran plaa plaa suuntainen,niin oletan suoran yhtälöä tietämättä,että se suora plaa plaa on tuon tason normaali.
Jos saat laskettua tuon suoran plaa plaa suuntaisen komponentin N ,niin se tason suuntainen komponentti voi tulla ihan vaan poislaskulla F-N.
En jaksanut kirjoittaa suorasta mitään viime kerralla, mutta joka tapauksessa se ei ole tason normaali.
Suoran vektorimuotoinen parametriesitys on seuraava r = t(i 2j - k).
Ajattelin seuraavaa:
Lasken ensin suoran suuntavektorin kohtisuoran projektion tason normaalilla ja sen jälkeen lasken normaalikomponentin. Tämän normaalikomponentin täytyisi siis sijaita tasolla, koska se on kohtisuorassa tason normaalia vastaan.
Jaan sitten tämän voimavektorin suoran suuntavektorin ja tämän normaalikomponentin suuntaisiin komponentteihin.
Läheltä liippas, muttei ihan. Jotain on vialla, en tiedä mitä. En vaan saanut aivan täysin oikeata vastausta millään.
Oikea vastaus on:
F = (-14i - 28j 14k) (11i 29j - 9k)
Tason suuntainen vektori on a=xi yj zk
Nyt saadaan a r=F eli xi yj zk t(i 2j-k)=-3i j 5k
x t=-3
y 2t=1
z-t=5 ,lisäksi oli se tason yhtälö
-x y 2z=0
Tuosta yhtälöryhmästä saadaan ratkaistua nuo tuntemattomat eli
t=-14 ,x=11 ,y=29 ,z=-9
vektorit ovat a=11i 29j-9k ja r=-14i-28j 14k
Kiitoksia erittäin paljon. Asia selvä. Enpä tajunnut ajatella asiaa tuollain.
Tässä on hyvin vieraita asioita ,mutta yritys.
Noiden tasojen normaalit ovat:
Taso 1 n1=7i-5j k , pituus sqrt(75)=5sqrt(3)
Taso 2 n2=-i-j k , pituus sqrt(3)
diedrikulman puolittajatason Taso 3 normaali on
xi yj zk , pituus P
Tasojen 1 ja 3 diedrikulman cos on n1 piste n3 jaettuna pituuksien tulolla.
(n1 piste n3)/(5sqrt(3)*P).
Tämä on myös sama kuin tasojen 2 ja 3
diedrikulman cos=(n2 piste n3)/(sqrt3*P)
eli (7x-5y z)/5=-x-y z eli
7x-5y z=-5x-5y 5z eli 12x-4z=0
tulkitsen tämän niin ,että
diedrikulmien puolittajatason yhtälö olisi siis
3x-z D=0 ,missä D on reaaliluku.
Siis xz- taso
Jäi toteamatta,että tuon logiikan mukaan sen
toisen diedrikulman puolittajataso on tietysti
y-z taso.
Tason T1 normaali n1=7i-5j k
Tason T2 normaali n2=-i-j k
Diedrikulmanpuolittajatason T3 normaali n3 =
ai bj ck
Tuossa äskeisessä oli sen verran oikeatakin,että
siitä saadaan yhteys 3a-c=0.
T1 ja T3 tasojen leikkaussuoran suuntavektori on
n1xn3=i(-5c-b) j(7c-a) k(7b 5a).
T1 ja T2 tasojen vastaava on n1xn2=-4i 8j-12k.
Nyt saadaan yhtälöryhmä:
-5c-b=-4
7c-a=8
7b 5a=-12
lisäksi oli tuo yhteys 3a-c=0
Näistä saadan a=2/5 ,b=-2 , c=6/5
ja tason T3 yhtälö on 2x-10y 6z 5d=0
Tuo d saadaan kun muodostetaan tasojen T1 ja T2 leikkaussuoran yhtälö,joka on yhteenlaskettuna näiden tasojen yhtälöt:
-6x-6y 2z-4=0.
Nyt täytyy löytää piste ,joka toteuttaa nämä kaikki kolme yhtälöä T1,T2 ja tuon yllä olevan.
Sellainen piste on 2,2,2.
Se kun sijoitetaan T3 yhtälöön saadaan d=4/5.
Kysytty toisen Diedrikulman yhtälö on
x-5y 3z 2=0.
Toista en enää ala pohtia.
siis toisen diedrikulmanpuolittajatason yhtälö on
x-5y 3z 2=0
Tuo 3x-z D=0 on tietysti se toinen taso ,ja taas
sijoittamalla (2,2,2) saadaan D on -4 ja tason
yhtälöksi
3x-z-4=0
y = mikä tahansa reaaliluku.
Aivan oikea vastaus. Ymmärsin nyt. Kiitoksia.