Bayesin teoreema

Jeps, nyt ymmärrän. Käytin mallina englanninkielistä Wikipediaa, jossa sanottiin eräästä esimerkistä: "Thus, the probability of getting a plain cookie overall is 0.75×0.5 0.5×0.5 = 0.625. Or to put it more simply, the proportion of all cookies that are plain is 50 out of 80 = 50/80 = 0.625.". Laskin P(B):n tuon yksinkertaisemman tavan mukaan, P(B)=105/1100=0,095. Tuo tapa ei kuitenkaan toimi silloin, kun koreissa on eri määrä palloja, keksejä tai mitä tahansa, eli tuo puolella kertominen on yleispätevä tapa.

Kiitos sinulle!

Ei, P(A/B) on eri asia kuin P(B/A). P(B/A) on tässä esimerkissä todennäköisyys, että korista A nostetaan summassa sininen pallo. P(A/B) on todennäköisyys, että sininen pallo on nostettu korista A. Merkinnässä P(B/A) pystyviiva (joka on korvattu tässä kauttaviivalla) osoittaa ehtoa, "B ehdolla A". P(A/B):ssä oletus A on hypoteesi ja ehto B on tiedossa oleva asia.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem

Kyllä se on pääteltävissä niin kuin sanoit. Oletan, että teoreemaa käytetään, koska monimutkaisemmissa tapauksissa vastaavanlainen päättely ei ole yhtä helppoa. Jos niin ei ole, en todella tajua, miksi asia pitää laskea vaikeamman kautta.

Kysyin täällä teoreeman avulla laskemisesta, koska huvikseni kirjoittelin tietokoneohjelmaa, joka laskee todennäköisyyksiä Bayesin teoreeman avulla. Jos ohjelman kirjoittaisi sillä menetelmällä kuin sinä esitit, se olisi paljon yksinkertaisempi.

Luotan kuitenkin tässä matemaatikkoihin, että he eivät ole suotta tehneet asiasta monimutkaisempaa kuin se on. (Jos niin ei ole, vaadin selitystä. :D)

Sain sen ohjelman valmiiksi, kun sain täältä hyvää apua. Syötin siihen seuraavanlaisen tapauksen: Kulhossa A on 100 palloa, joista 50 on sinisiä ja 50 punaisia. Kulhossa B on 50 palloa, joista kaikki ovat sinisiä. Henkilö arpoo kulhon ja nostaa siitä silmät kiinni pallon. Pallo on sininen. Millä todennäköisyydellä pallo on kulhosta B?

Tuolla "yksinkertaisella" tavalla laskettuna vastauksen pitäisi olla 50/100=1/2, mutta oikea vastaus on 2/3. Koska kulhossa A sinisten pallojen osuus on 50% ja kulhossa B 100%, on kaksi kertaa todennäköisempää, että sininen pallo on kulhosta B (kulhon A todennäköisyys on 1/3). Mieleen tulee väkisin Monty Hall -ongelma...

Tämä on ollut minulle kaikin puolin erittäin opettavaista ja kiitän kaikkia keskusteluun osallistuneita. Jatkan todennäköisyyksien kanssa "leikkimistä", on tämä mukavaa. :)

ap. kirjoittaja kirjoitti:

Sain sen ohjelman valmiiksi, kun sain täältä hyvää apua. Syötin siihen seuraavanlaisen tapauksen: Kulhossa A on 100 palloa, joista 50 on sinisiä ja 50 punaisia. Kulhossa B on 50 palloa, joista kaikki ovat sinisiä. Henkilö arpoo kulhon ja nostaa siitä silmät kiinni pallon. Pallo on sininen. Millä todennäköisyydellä pallo on kulhosta B?

Tuolla "yksinkertaisella" tavalla laskettuna vastauksen pitäisi olla 50/100=1/2, mutta oikea vastaus on 2/3. Koska kulhossa A sinisten pallojen osuus on 50% ja kulhossa B 100%, on kaksi kertaa todennäköisempää, että sininen pallo on kulhosta B (kulhon A todennäköisyys on 1/3). Mieleen tulee väkisin Monty Hall -ongelma...

Tämä on ollut minulle kaikin puolin erittäin opettavaista ja kiitän kaikkia keskusteluun osallistuneita. Jatkan todennäköisyyksien kanssa "leikkimistä", on tämä mukavaa. :)

Lue lisää

Näin niinku päässä mietittynä tuntuisi siltä, että se on silti 50%. Voisitko selittää tarkemmin miten päädyit lopputulokseesi? Seuraavaksi oma versioni.

todennäköisyys, että valitsee
kulhon A on 50%
kulhon B on 50%

Jos valitsee kulhon A on 50% td, että saa sinisen pallon. Eli td., että sininen pallo on kulhosta A on 50%*50%=25%.

Vaihtoehdot:
Sininen pallo kulhosta A on 25%
Punainen pallo kulhosta A on 25%
Sininen pallo kulhosta B on 50%
Nämä vaihtoehdot tekevät yhteensä 100%

Vastaus: 50%

Miten niin 2/3? Mitä tarkoitata sanomalla, että kulhon A td on 1/3?

miles davis kirjoitti:

Näin niinku päässä mietittynä tuntuisi siltä, että se on silti 50%. Voisitko selittää tarkemmin miten päädyit lopputulokseesi? Seuraavaksi oma versioni.

todennäköisyys, että valitsee
kulhon A on 50%
kulhon B on 50%

Jos valitsee kulhon A on 50% td, että saa sinisen pallon. Eli td., että sininen pallo on kulhosta A on 50%*50%=25%.

Vaihtoehdot:
Sininen pallo kulhosta A on 25%
Punainen pallo kulhosta A on 25%
Sininen pallo kulhosta B on 50%
Nämä vaihtoehdot tekevät yhteensä 100%

Vastaus: 50%

Miten niin 2/3? Mitä tarkoitata sanomalla, että kulhon A td on 1/3?

Lue lisää

Niin punaisen pallon todennäköisyydet 25% voi jättää huomiotta kun sieltä tuli sininen. Sitten se olis 2/3. Meneekö se sillee?

miles davis kirjoitti:

Näin niinku päässä mietittynä tuntuisi siltä, että se on silti 50%. Voisitko selittää tarkemmin miten päädyit lopputulokseesi? Seuraavaksi oma versioni.

todennäköisyys, että valitsee
kulhon A on 50%
kulhon B on 50%

Jos valitsee kulhon A on 50% td, että saa sinisen pallon. Eli td., että sininen pallo on kulhosta A on 50%*50%=25%.

Vaihtoehdot:
Sininen pallo kulhosta A on 25%
Punainen pallo kulhosta A on 25%
Sininen pallo kulhosta B on 50%
Nämä vaihtoehdot tekevät yhteensä 100%

Vastaus: 50%

Miten niin 2/3? Mitä tarkoitata sanomalla, että kulhon A td on 1/3?

Lue lisää

Ennen kuin kulho on arvottu ja pallo on nostettu, se mitä sanoit, on totta:

"Vaihtoehdot:
Sininen pallo kulhosta A on 25%
Punainen pallo kulhosta A on 25%
Sininen pallo kulhosta B on 50%
Nämä vaihtoehdot tekevät yhteensä 100%"

Ollaan kuitenkin tilanteessa, jossa kulho on arvottu ja pallo on jo nostettu. Pallon väri on sininen. Punaisen pallon todennäköisyyttä ei siis tarvitse enää ottaa huomioon. Koska kulhon A palloista sinisiä on puolet ja kulhon B palloista kaikki, on kaksi kertaa todennäköisempää, että sininen pallo on kulhosta B. Sininen pallo on 2/3 todennäköisyydellä nostettu kulhosta B. Tarkoitan kulhon A todennäköisyydellä 1/3 sitä, että on 1/3 todennäköisyys, että sininen pallo on nostettu kulhosta A.

Mitä jos kulhossa B olisi 50 sinistä palloa, mutta kulhossa A 1000 palloa, joista 50 olisi sinisiä ja 950 punaisia? Olisiko mielestäsi todennäköisyys, että summassa nostettu sininen pallo olisi kulhosta B, se 50%? Entä jos kulhossa A olisi miljardi palloa? Jos kulhon A miljardista pallosta 50 olisi sinisiä, tuntuuko intuitiivisesti oikealta, että sininen pallo olisi 50% todennäköisyydellä kulhosta B? En usko. Bayesin kaava ottaa huomioon sen, mikä on sinisten pallojen osuus kummassakin kulhossa. Jos toisessa kulhossa siniset pallot hukkuvat valtavaan massaan ja ovat toisessa enemmistönä, on loogista, että tämä näkyy todennäköisyyksissä.

Olen laittanut tässä ketjussa linkin englanninkieliseen Wikipediaan, jossa selitetään Bayesin teoreema. Laskukaava on esitetty myös ketjun aloitusviestissä. Osa aloitusviestissä esitetyistä luvuista on vääriä, mutta muissa ketjun viesteissä korjataan ne virheet.

miles davis kirjoitti:

Niin punaisen pallon todennäköisyydet 25% voi jättää huomiotta kun sieltä tuli sininen. Sitten se olis 2/3. Meneekö se sillee?

Kirjoitin vastauksen ja näköjään olit sanonut sen itsekin. :)

ap. kirjoittaja kirjoitti:

Sain sen ohjelman valmiiksi, kun sain täältä hyvää apua. Syötin siihen seuraavanlaisen tapauksen: Kulhossa A on 100 palloa, joista 50 on sinisiä ja 50 punaisia. Kulhossa B on 50 palloa, joista kaikki ovat sinisiä. Henkilö arpoo kulhon ja nostaa siitä silmät kiinni pallon. Pallo on sininen. Millä todennäköisyydellä pallo on kulhosta B?

Tuolla "yksinkertaisella" tavalla laskettuna vastauksen pitäisi olla 50/100=1/2, mutta oikea vastaus on 2/3. Koska kulhossa A sinisten pallojen osuus on 50% ja kulhossa B 100%, on kaksi kertaa todennäköisempää, että sininen pallo on kulhosta B (kulhon A todennäköisyys on 1/3). Mieleen tulee väkisin Monty Hall -ongelma...

Tämä on ollut minulle kaikin puolin erittäin opettavaista ja kiitän kaikkia keskusteluun osallistuneita. Jatkan todennäköisyyksien kanssa "leikkimistä", on tämä mukavaa. :)

Lue lisää

Tämä on helppo kokeilla.
Jaetaan nuo määrät ensin 50:llä,jolloin A:ssa on punainen ja sininen ja B:ssä sininen.
Kynällä ja paperilla kun suorittaa nämä arvonnat ja laskee määrät niin lopputulokseksi tulee kysytylle todennäköisyydelle 1/2.

Baines kirjoitti:

Tämä on helppo kokeilla.
Jaetaan nuo määrät ensin 50:llä,jolloin A:ssa on punainen ja sininen ja B:ssä sininen.
Kynällä ja paperilla kun suorittaa nämä arvonnat ja laskee määrät niin lopputulokseksi tulee kysytylle todennäköisyydelle 1/2.

Lue lisää

Uskon, että vastasit oikein, mutta väärään kysymykseen. Kysymys ei ollut, millä todennäköisyydellä kulho B (ja siinä oleva sininen pallo) saadaan arvonnassa. Arvonta on jo suoritettu ja tiedetään, että pallo on sininen. On tarkoituksena laskea, millä todennäköisyydellä sininen pallo on kulhosta B.

Baines kirjoitti:

Tämä on helppo kokeilla.
Jaetaan nuo määrät ensin 50:llä,jolloin A:ssa on punainen ja sininen ja B:ssä sininen.
Kynällä ja paperilla kun suorittaa nämä arvonnat ja laskee määrät niin lopputulokseksi tulee kysytylle todennäköisyydelle 1/2.

Lue lisää

ABABABABABABABABABAB
RSSSRSSSRSSSRSSSRSSS

B S yhdistelmää on 10/20 ,R ON RED, PUN

Baines kirjoitti:

ABABABABABABABABABAB
RSSSRSSSRSSSRSSSRSSS

B S yhdistelmää on 10/20 ,R ON RED, PUN

Olet oikeassa. Nuo ovat kaikki mahdolliset kombinaatiot, kun arvotaan kulho ja sieltä poimitaan silmät kiinni pallo. Kuten edellä sanoin, vastasit oikein, mutta eri kysymykseen. :)

ap. kirjoittaja kirjoitti:

Uskon, että vastasit oikein, mutta väärään kysymykseen. Kysymys ei ollut, millä todennäköisyydellä kulho B (ja siinä oleva sininen pallo) saadaan arvonnassa. Arvonta on jo suoritettu ja tiedetään, että pallo on sininen. On tarkoituksena laskea, millä todennäköisyydellä sininen pallo on kulhosta B.

Lue lisää

no siloin tuosta litaniasta jaä pois nuo AR:t ja BS:n osuus on 8/12=2/3 ,niinkuin olet koko ajan sanonutkin.
Sorry!

Baines kirjoitti:

no siloin tuosta litaniasta jaä pois nuo AR:t ja BS:n osuus on 8/12=2/3 ,niinkuin olet koko ajan sanonutkin.
Sorry!

Siihen esittämääni kysymykseen tosiaan saadaan oikea vastaus, kun AR:t jätetään pois laskuista. "Sorry" on tarpeeton, täällä on mukavaa keskustella.

Kiitos kommenteistasi! :)

ap. kirjoittaja kirjoitti:

Sain sen ohjelman valmiiksi, kun sain täältä hyvää apua. Syötin siihen seuraavanlaisen tapauksen: Kulhossa A on 100 palloa, joista 50 on sinisiä ja 50 punaisia. Kulhossa B on 50 palloa, joista kaikki ovat sinisiä. Henkilö arpoo kulhon ja nostaa siitä silmät kiinni pallon. Pallo on sininen. Millä todennäköisyydellä pallo on kulhosta B?

Tuolla "yksinkertaisella" tavalla laskettuna vastauksen pitäisi olla 50/100=1/2, mutta oikea vastaus on 2/3. Koska kulhossa A sinisten pallojen osuus on 50% ja kulhossa B 100%, on kaksi kertaa todennäköisempää, että sininen pallo on kulhosta B (kulhon A todennäköisyys on 1/3). Mieleen tulee väkisin Monty Hall -ongelma...

Tämä on ollut minulle kaikin puolin erittäin opettavaista ja kiitän kaikkia keskusteluun osallistuneita. Jatkan todennäköisyyksien kanssa "leikkimistä", on tämä mukavaa. :)

Lue lisää

"Kulhossa A on 100 palloa, joista 50 on sinisiä ja 50 punaisia. Kulhossa B on 50 palloa, joista kaikki ovat sinisiä. Henkilö arpoo kulhon ja nostaa siitä silmät kiinni pallon. Pallo on sininen. Millä todennäköisyydellä pallo on kulhosta B? "

Heh, laskeskelin tuota hetken ja tulin aina tulokseen 1/2, jota meinasin jo kaupata oikeana vastauksena. Vasta kun purki joukot kunnolla auki, niin valkeni miksi 1/2 ei kelpaa ja punaisten pallojen lukumäärällä on väliä. Pistänpä huvikseni tähän kummatkin päättelyni, etsikää virhe toisesta :)

Tulos 1/2: Tiedetään, että on nostettu sininen pallo. Nyt kummassakin korissa on 50 sinistä palloa, joten tämä sininen on tn:llä 50 korista B, koska mehän tutkimme vain tapausta, jossa sininen on nostettu, eli punaisilla ei ole väliä. (HT: mikä mättää päättelyssä?)

Tulos 2/3: Merkitään korin A sinisiä palloja S_A, punaisa P_A, korin B sinisiä S_B ja punaisia P_B. Merkitään edelleen
A = nostettu sininen pallo
B = nostettu korista B
joten P(B|A) = P(A/\B) / P(B) ja P(A/\B) = S_B /(S_A S_B P_A P_B) sekä P(B) = 1/2 ja saadaan P(B|A) = [S_B / (S_A S_B P_A P_B)] / (1/2) = 2*S_B / (S_A S_B P_A P_B). Tuohon kun pultataan oikeat numerot, niin 2*50/(50 50 50) = 2/3.

Tein myös pienen C-ohjelman, joka emuloi tilannetta. Laitan sen toiseen replyyn jos kiinnostaa.

meitsi. kirjoitti:

"Kulhossa A on 100 palloa, joista 50 on sinisiä ja 50 punaisia. Kulhossa B on 50 palloa, joista kaikki ovat sinisiä. Henkilö arpoo kulhon ja nostaa siitä silmät kiinni pallon. Pallo on sininen. Millä todennäköisyydellä pallo on kulhosta B? "

Heh, laskeskelin tuota hetken ja tulin aina tulokseen 1/2, jota meinasin jo kaupata oikeana vastauksena. Vasta kun purki joukot kunnolla auki, niin valkeni miksi 1/2 ei kelpaa ja punaisten pallojen lukumäärällä on väliä. Pistänpä huvikseni tähän kummatkin päättelyni, etsikää virhe toisesta :)

Tulos 1/2: Tiedetään, että on nostettu sininen pallo. Nyt kummassakin korissa on 50 sinistä palloa, joten tämä sininen on tn:llä 50 korista B, koska mehän tutkimme vain tapausta, jossa sininen on nostettu, eli punaisilla ei ole väliä. (HT: mikä mättää päättelyssä?)

Tulos 2/3: Merkitään korin A sinisiä palloja S_A, punaisa P_A, korin B sinisiä S_B ja punaisia P_B. Merkitään edelleen
A = nostettu sininen pallo
B = nostettu korista B
joten P(B|A) = P(A/\B) / P(B) ja P(A/\B) = S_B /(S_A S_B P_A P_B) sekä P(B) = 1/2 ja saadaan P(B|A) = [S_B / (S_A S_B P_A P_B)] / (1/2) = 2*S_B / (S_A S_B P_A P_B). Tuohon kun pultataan oikeat numerot, niin 2*50/(50 50 50) = 2/3.

Tein myös pienen C-ohjelman, joka emuloi tilannetta. Laitan sen toiseen replyyn jos kiinnostaa.

Lue lisää

"Tein myös pienen C-ohjelman, joka emuloi tilannetta. Laitan sen toiseen replyyn jos kiinnostaa."

Kyllä kiinnostaa, laita vaan tulemaan.

ap. kirjoittaja kirjoitti:

"Tein myös pienen C-ohjelman, joka emuloi tilannetta. Laitan sen toiseen replyyn jos kiinnostaa."

Kyllä kiinnostaa, laita vaan tulemaan.

Ei sitten vinoilua koodista, tämä ei ole akateeminen taidonnäyte :) Ja tunnetusti tää järjestelmä syö kaikki sisennykset, joten ne joudut luomaan käsin (tän pystyis kai jotenkin kiertään, mutta en vaan osaa).


#include
#include
#include

#define MAX_KERRAT 10000

int main(int args, char** argv) {
int kori, pallo, kerrat, kertoja, kori_b;

kertoja = kori_b = 0;
srand(time(NULL));
/* Korissa 1 eli A on sata palloa, joista 50 pun. ja 50 sin.
Laitetaan siniset sijoille 1-50 ja pun sijoille 51-100.
Korissa 2 eli B on kaikki sinisiä.*/

for(kerrat = MAX_KERRAT ; kerrat > 0 ; kerrat --) {
kori = 1 (int)(2.0 * (rand() / (RAND_MAX 1.0)));
if(kori == 2) {
pallo = 1 (int)(50.0 * (rand() / (RAND_MAX 1.0)));
} else {
pallo = 1 (int)(100.0 * (rand() / (RAND_MAX 1.0)));
}

/* Onko sininen?*/
if(kori == 2 || (kori == 1 && pallo < 51) ) {
kertoja ;
if(kori == 2) {
/*monestiko sininen nostettu korista B*/
kori_b ;
}
}
}
fprintf(stdout, "valittu sininen %d kertaa\n",kertoja);
fprintf(stdout, "valittu korista B %d kertaa\n",kori_b);
fprintf(stdout, "Tn, että otettu korista B on siis %f\n",((float)kori_b/kertoja));

return(EXIT_SUCCESS);
}

meitsi. kirjoitti:

Ei sitten vinoilua koodista, tämä ei ole akateeminen taidonnäyte :) Ja tunnetusti tää järjestelmä syö kaikki sisennykset, joten ne joudut luomaan käsin (tän pystyis kai jotenkin kiertään, mutta en vaan osaa).


#include
#include
#include

#define MAX_KERRAT 10000

int main(int args, char** argv) {
int kori, pallo, kerrat, kertoja, kori_b;

kertoja = kori_b = 0;
srand(time(NULL));
/* Korissa 1 eli A on sata palloa, joista 50 pun. ja 50 sin.
Laitetaan siniset sijoille 1-50 ja pun sijoille 51-100.
Korissa 2 eli B on kaikki sinisiä.*/

for(kerrat = MAX_KERRAT ; kerrat > 0 ; kerrat --) {
kori = 1 (int)(2.0 * (rand() / (RAND_MAX 1.0)));
if(kori == 2) {
pallo = 1 (int)(50.0 * (rand() / (RAND_MAX 1.0)));
} else {
pallo = 1 (int)(100.0 * (rand() / (RAND_MAX 1.0)));
}

/* Onko sininen?*/
if(kori == 2 || (kori == 1 && pallo < 51) ) {
kertoja ;
if(kori == 2) {
/*monestiko sininen nostettu korista B*/
kori_b ;
}
}
}
fprintf(stdout, "valittu sininen %d kertaa\n",kertoja);
fprintf(stdout, "valittu korista B %d kertaa\n",kori_b);
fprintf(stdout, "Tn, että otettu korista B on siis %f\n",((float)kori_b/kertoja));

return(EXIT_SUCCESS);
}

Lue lisää

En osaa kieltä, mutta jos ymmärsin oikein, ohjelmassa on silmukka, jonka toistojen määrä on 10 000. Pallot arvotaan (= tuotetaan satunnaislukuja) ja lasketaan, kuinka usein sininen pallo on korista B. Uskon, että tuolla toistomäärällä yleensä päästään aika lähelle teoreettista todennäköisyyttä 2/3.

Simulaation ohella toinen tapa on laskea teoreettinen todennäköisyys suoraan Bayesin teoreemasta. Molemmilla tavoilla saadaan (käytännössä) sama tulos, joten tapoja voidaan pitää vaihtoehtoisina. :)