Matriiseista kyselisin sen verran, että:
Onko kahden samankokoisen matriisin tulo aina symmetrinen? Miten tämä voidaan todistaa?
Entäs kahden kolmiomatriisin tulo aina kolmiomatriisi? Todistus?
Entäpä mitä tarkoittaa merkintä A(1,:)? Tai A(2:1,3:2)?
En ole opiskelija/ammattimatemaatikko, vaan matematiikka on minulle vain harrastus, joten suhteellisen simppeleitä vastauksia pyytäisin. Matriisien perusteet minulla on kuitenkin hallussa.
Onko kahden samankokoisen matriisin tulo aina symmetrinen? Miten tämä voidaan todistaa?
Entäs kahden kolmiomatriisin tulo aina kolmiomatriisi? Todistus?
Entäpä mitä tarkoittaa merkintä A(1,:)? Tai A(2:1,3:2)?
En ole opiskelija/ammattimatemaatikko, vaan matematiikka on minulle vain harrastus, joten suhteellisen simppeleitä vastauksia pyytäisin. Matriisien perusteet minulla on kuitenkin hallussa.
Vastaukset 5
Vanhimmat
"Onko kahden samankokoisen matriisin tulo aina symmetrinen? Miten tämä voidaan todistaa? "
Kurkkaa jostain tuo tulon määritelmä, se seuraa siitä pienellä indeksien pyörittelyllä. Pitää siis paikkansa.
"Entäs kahden kolmiomatriisin tulo aina kolmiomatriisi? Todistus? "
Omista matriisilaskuista on aikaa, mutta tarkoitatko minkälaisia kolmiomatriiseja? Eikö niitä ollut erilaisia(?).. Ainakaan kahden yläkolmiomatriisin tulo ei välttämättä ole yläkolmiomatriisi. Esim.
(1 1)
(1 0)
kerrottuna itsensä kanssa ei tuota kolmiomatriisia.
Tuosta notaatiosta en tiedä, mutta veikkaisin ettei se ole mitään yleisessä käytössä olevaa ainakaan. Onko se jostain numeerisesta ohjemistosta? Jos on, niin katso manuaalista. Eri ohjelmistoissa on erilaiset syntaksit (~notaatiot).
Kyllähän ko. tyyppinen matriisi
(1 1)
(1 0)
voidaan ajatella kolmiomatriisiksi,
mutta ko. tyypeillä en ole tavannut mitään mielekkäitä sovelluksia.
Yleensä vaaditaan että kyseessä on kolmio matriisi, kun diagonaalin (alkiot a(ii)) ylä- tai alapuoliset alkiot ovat kaikki nollia.
Olkoon nyt sitten Anxn ja Bnxn matriiseja, joille
a(ij)=b(ij)=0 kun i>j diagonaalin alapuoliset alkiot nollia.
Sovitaan, että Cnxn=Anxn*Bnxn
siis c(ij)=summa(k=1...n) a(ik)b(kj)
tutkitaan alkiot i>j
=summa(k=1...(i-1))a(ik)b(kj) summa(k=i...n)a(ik)b(kj)
nyt 1. summassa a(ik)=0 sillä i>k A yläkolmio
ja 2. summassa b(kj)=0 sillä k>=i>j (tutkittin alkioita i>j) siis c(ij)=0 kun i>j c:kin on yläkolmio, lukija tutkikoon tapuksen Anxp Bpxm
Joo se tulo on siis aina neliömatriisi, eikä tietenkään symmetrinen. Luin väärin...
Symmetrinen matriisi tarkoittaa, että matriisin transpoosi A^t=A.
Nyt tulo symmetrinen, tarkoittaisi (AB)^t=B^tA^t=AB. Ei pidä paikkansa esim. valitse A mikä tahansa epäsymmetrinen matriisi esim.yläkolmiomatriisi ja B=I yksikkömatriisi.
Jos kolmiomatriisit ovat molemmat joko yläkolmioita tai molemmat alakolmioita. Yläkolmio kertaa alakolmio ei välttämättä kolmio.
A(1,:) tarkoittanee matriisin 1. vaakariviä.
A(2:1,3:2) tarkoittaa matriisia joka on saatu matriisista A valitsemalla rivit 2..3 sekä sarakkeet 1..2 eli 2x2 matriisi joka poimittu matriisin A sisältä.
Kahden samankokoisen matriisin tulo ei todellakaan ole symmetrinen. Asian voi todentaa ottamalla kaksi mitä tahansa samankokoista matriisia ja kertoa ne keskenään => vastaesimerkki löytyy hyvin suurella todennäköisyydellä. Ja matematiikassa konjenktuurin todistaminen vääräksi hoituu juuri vastaesimerkillä.
Tuo kahden kolmiomatriisin tulo onkin sitten monimutkaisempi juttu. Katsotaanpas...
Olkoot A ja B neliömatriiseja, siis R^(n x n) - dimensiossa. Näiden alkiot ovat a11, ... , aij ja b11, ... bjk. Näiden tulo menee suoraan matriisin kertolaskun määritelmän mukaan:
Olkoon samassa C = AB. Tässä cik, k < i. On osoitettava, että cik, k < i, pistetulo
cik = sigma (i = 1 -> n) aij * bjk = 0.
Tulo on nolla diagonaalille aii, jonka jälkeen bjk = 0 kaikilla j, k. Siis kaikki yhteenlaskettavat nollia mikä todistaakin hypoteesin.