Vaikeuksia Derivaatan nollakohdan

Pitänee ensin kirjoittaa hiuman toiseen muotoon.

=>ln(f(x))=x^x*ln(x^x)=x^x*x*ln(x)=x^(x 1)*ln(x)

Tuosta voisi jo yrittää derivoida

=>f`(x)/f(x)= D(x^(x 1))*ln(x) x^(x 1)*1/x

ja ottaen ´vielä huomioon, että

D(x^x)= D(e^(x*ln(x)))= x^x*(1 ln(x))

Laskin loppuun ja päädytään nollakohdan
osalta tilanteeseen

x^x=1/e, joten ihmetyttää tuo vaatimus
tarkasta ratkaisusta. Vai kysyttiinkö
nimenomaan analyyttistä ratkaisua?
Se voisi ehkä onnistua?

Logaritmilla on kiva ominaisuus: ln (x^a) = a ln x. Tämän avulla voit laskea funktion g(x) = x^x derivaatan. Eli otat ln:n puolittain ja saat
ln g(x) = ln (x^x) = x ln x.
Derivoit tämän ja vasemmalle puolelle saat
g'(x) / g(x)
josta voit ratkaista sitten g'(x):n.

Tuohon alkuperäiseen kysymyksene pääset pureutumaan vastaavalla tavalla. Eli ln puolittain ja saat
ln f(x) = g(x) ln g(x)
ja derivoimalla saat vasemmalle puolelle
f'(x) / f(x)
josta pääset käsiksi f'(x):n lausekkeeseen. Tuosta tulet sitten huomaamaan, että f'(x):n lauseke on (x^x)^(x^x) kertaa monimutkaisen näköinen termi.

Näissä tarkastelussa tietenkin sitten kokoajan oletetaan, että logaritmien sisällä olevat funktiot ovat aidosti positiivisia, jotta logaritmit olisivat hyvin määriteltyjä ja ongelmilta vältyttäisiin.

Toivottavasti tuosta oli apua. Kysy lisää neuvoja, jos jäät jumiin jossain.