Onko seuraava väite totta? Ja jos on, miten todistaisitte sen?
7n 3 ei ole minkään luvun k neliö, kun n ja k ovat positiivisia kokonaislukuja (0 ja negatiiviset eivät ainakaan toteuta, eikä kyllä kovin moni ensimmäisistä pos. kokonaisluvuistakaan)
Eli tehdään vastaoletus:
7n 3 = k^2
Tuostahan sitten voisi lähteä ratkaisemaan n:n suhteen ja erittelemään tapaukset k=2q ja k=2q 1, mutta en saa kyllä todistettua (siis eihän se ole varma onkokaan se niin).
Prelikokeessa oli tuon tyylinen, mutta siinä oli 4n 2. Se meni helposti tuolla tavoin (niistä näki, että ne ei ole kokonaislukuja). Sit keksin omasta päästä tuon kyseisen...
Onko tuo taktiikka miten yleinen tälläisissa tehtävissä ja mitä muita on mahdollisesti olemassa?
7n 3 ei ole minkään luvun k neliö, kun n ja k ovat positiivisia kokonaislukuja (0 ja negatiiviset eivät ainakaan toteuta, eikä kyllä kovin moni ensimmäisistä pos. kokonaisluvuistakaan)
Eli tehdään vastaoletus:
7n 3 = k^2
Tuostahan sitten voisi lähteä ratkaisemaan n:n suhteen ja erittelemään tapaukset k=2q ja k=2q 1, mutta en saa kyllä todistettua (siis eihän se ole varma onkokaan se niin).
Prelikokeessa oli tuon tyylinen, mutta siinä oli 4n 2. Se meni helposti tuolla tavoin (niistä näki, että ne ei ole kokonaislukuja). Sit keksin omasta päästä tuon kyseisen...
Onko tuo taktiikka miten yleinen tälläisissa tehtävissä ja mitä muita on mahdollisesti olemassa?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Jos on olemassa kokonaisluvut n ja k siten, että
7n 3=k^2, niin on olemassa n ja k siten, että
7 jakaa k^2-3. Nyt riittää tarkastella k:n jakojäännöksiä luvulla 7, joita on 0,1,2,3,4,5,6
Lasketaan jakojäännökset k^2-3
saadaan jakojäännöksiksi -3,-2,1,-1,-1,1,-2 tai positiivisina jakojäännöksinä 4,5,1,6,6,1,5. Joten missään näistä tapauksista jako ei mene tasan luvulla 7, joten tällaisia lukuja n ja k ei löydy.
Vaikea sanoa mitä tarkoitat "tällaisilla tehtävillä". Kaikki Diofantoksen yhtälöt eivät ole algoritmisesti ratkeavia, minkä todisti Juri Matiyasevich vuonna 1970. Toisen ja ensimmäisen asteen Diofantoksen yhtälöt voidaan aina ratkaista ja algoritmit on hyvin tunnetty. Tämä kysymys, 7n 3=m^2 on toista astetta, ja yleisesti kysymys mitkä ovat yhtälön an b=m^2 on ratkaisut kun a ja b on annettu on selvitettävissä melko alkeellisen lukuteorian avulla (Pellin yhtälöt ja niiden ratkaiseminen ketjumurtolukujen avulla). Toisinaan yhtälöä an b=m^2 voi tutkia neliönjäännösten avulla.
Tuo jakojäännösten laskeminen jonka joku jo esitti, lähti siis siitä että asetetaan k=7r p. Tämän k:n toisen potenssin jakamisessa 7:llä jää jakojäännöksen tuottajaksi p:n toinen potenssi. Koska p saa vain lukuarvot 0,...6 niin tässä tulee äärellinen jakojäännösten joukko. Lisäksi otetaan sitten huomioon vielä se -3. Tämä vain selityksenä jos tuo jakojäännösluettelo ei auennut.
Sinänsä asettamasi tehtävä oli mukava pikku pähkinä! Sopiva vaikka lukiolaisen pohdittavaksi.