Tehtävänä etsiä yhtälön 26x 35y = 2 kaikki ratkaisut. Ensin huomasin, että syt(26, 35) = 1 ja etsin yhtälölle 26x 35y=1 ratkaisut ja sain x=-8 ja y=6. Tästä suoraan sitten alkuperäiselle tulee ratkaisuksi x=-16 ja y=12, mutta miten saan kaikki ratkaisut?
diofantesta
daadaaa
5339
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Jos a ja b ovat yhtälön
26x 35y=2
ratkaisu, niin muut ratkaisut saadaan
kaavasta
x=a 35t ja y=b-26t, missä t käy läpi kokonaisluvut.
Mistä tiedetään että muita ratkaisuja ei ole?
Mietippä sitä!
Oletetaan, että a,b ja c,d ovat ratkaisuja
eli
26a 35b=2
26c 35d=2
(vähennetään yhtälöt toisistaan)
eli
26(a-c) 35(b-d)=0
eli 26(a-c)=-35(b-d)
Koska syt(26,35)=1, niin
35 jakaa a-c
26 jakaa b-d
eli c on muotoa a 35t
ja d on muotoa b-26t
Siksi ei ole muita ratkaisuja kun edellä mainitut
Ensin täytyy oikaista virhe, yhtälön 26x 35y=2 ratkaisut ovat x=-8 ja y=6, olin kertonut ne jostain syystä neljällä enkä kahdella.. mutta asiaan.
Oletetaan, että a ja b olisivat myös ratkaisut, eli 26a 35b=2. Tiedetään edellisille x ja y pätee 26x 35y=2 joten vähennetään puoliksi. Saadaan 26(a-x) 35(b-y)=0. Nyt on oltava a-x ja b-y erimerkkiset. Oletetaan, että a-x < 0 ja b-y > 0 jolloin a < x ja b > y. Koska 26(a-x)=-35(b-y) ja syt(25, 36)=1, niin a-x on muotoa -35t ja b-y muotoa 26t ja saadaan a-x = -35t, b-y=26t jollain t in N. Edelleen a = x-35t ja b = y 26t jolloin...
Pitäisikö tästä saada ristiriita aikaiseksi? Ei nyt lähde aukeamaan...
Liekö muiden mielestä triviaali, mutta en kyllä keksi miksi muita ratkaisuja ei voi olla.
http://web.usna.navy.mil/~wdj/book/node7.html
Opettelepa tuolta hyödyllinen lause 1.2.17. Sillä voi ratkaista kaikki muotoa ax by=c olevat Diofantoksen yhtälöt.