Pitäisi osoittaa, että a^3-a on jaollinen 6:lla. Tuonhan saa muokattua muotoon a(a-1)(a 1) ja jaollisuuden 2:lla saa osoitettua helposti. Mitenkös tuo kolmella jako onnistuisi? (ja sitä kautta siis 6:lla jako)
Jaollisuus
Kirsikka.
5665
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun joukossa on yksi kolmella jaollinen luku. Siten myös tulo (a-1)a(a 1) on jaollinen kolmella.
pitäisi todistaa niin, että saa lausekkeelle muodon 3*(jotain)
a^3-a=(a-1)a(a 1)
a on jotain muotoa
a=3k
a=3k 1
a=3k 2
Silloin (a-1)a(a 1)=(3k-1)3k(3k 1) tai
3k(3k 1)(3k 2) tai
(3k 1)(3k 2)(3k 3)=(3k 1)(3k 2)3(k 1) eli
kaikissa tapauksissa 3 jaollinen
Induktiotodistus on eräs vaihtoehto,
Riittää tutkia positiivisilla kokonaisluvuilla sillä jos luvulla a lauseke on jaollinen 6, niin lauseke on myös luvulla -a, sillä
jos 6 jakaa a^3-a, niin
(-a)^3-(-a)=-(a^3-a) on jaollinen myös 6:lla.
Induktiotodistus:
a=0, a^3-a=0 eli jaollinen 6:lla
Induktio-oletus: a=k ja k^3-k on jaoliinen 6:lla
eli k^3-k=6l
Induktio-askel:
a=k 1
(k 1)^3-(k 1)=k^3 3k^2 3k 1-k-1=6l 3k^2 3k, joka on jaollinen 6:lla jos 3k^2 3k on. Eli
3k(k 1) on. Jos k on parillinen on luku 3k 6:lla jaollinen, jos pariton, niin 3(k 1) on 6:lla jaollinen. Eli molemmissa tapauksissa 3k(k 1) on jaollinen 6:lla. M.O.T.
"a on jotain muotoa
a=3k
a=3k 1
a=3k 2"
Entäs jos a on muotoa 2k tai 2k 1?
Kyllähän a on joko muotoa 2k tai 2k 1, jollekin kokonaisluvulle k. Aivan samoin a on joko muotoa 3k tai 3k 1 tai 3k 2, jollekin kokonaisluvulle k.
Huomaa että tuossa ei välttämätä ole sama k kyseessä.