Eli pitäisi miettiä kaksi reaalilukua, joiden erotus on 20 ja tulo mahdollisimman pieni.
Miten pitäisi lähteä pähkäilemään? Mietin, että toisen luvuista on oltava negatiivinen. Esimerkiksi luvut a=1 ja b=-19. Tällöin a-b=20 ja tulo ab=-19. Kokeilemalla sain, että kun a=10 ja b=-10, niin tulo on -100. Miten todistan, että nämä ovat kysytyt luvut (vai ovatko)?
Miten pitäisi lähteä pähkäilemään? Mietin, että toisen luvuista on oltava negatiivinen. Esimerkiksi luvut a=1 ja b=-19. Tällöin a-b=20 ja tulo ab=-19. Kokeilemalla sain, että kun a=10 ja b=-10, niin tulo on -100. Miten todistan, että nämä ovat kysytyt luvut (vai ovatko)?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Hae sen tulon a*b ääriarvot derivoimalla lauseke
(20 b)*b ja asettamalla se derivaatta nollaksi.
Oikein olit pähkäillyt.
Ehtona tuossa siis on, että luvuille a ja b pätee
a - b = 20 a = b 20.
Nyt siis piti miettiä, että milloin tulo ab on mahdollisimman pieni. Tuo muuttuu yhden muuttujan ongelmaksi, kun sijoitetaan a muuttujan b avulla lausuttuna, eli
ab = (b 20)b = b^2 20b.
Mieti missä kohdassa toisen asteen polynomifunktio P(b) = b^2 20b saavuttaa pienimmän arvonsa.
Olkoot luvut x ja y. Nyt x - y = 20 ja P = xy.
Ratkaistaan x ensimmäisetä yhtälöstä ja sijoitetaan toiseen. Näin saadaan
P = 20y y^2.
Derivoidaan P y:n suhteen ja merkitään derivaatta nollaksi eli
dP/dy = 20 2y = 0.
Ratkaisemalla tästä y saadaan y = -10, ja sijoittamalla tämä edelleen x:n lausekkeeseen x = 10.
Laskemalla P:n toinen derivaatta havaitaan, että se on aina positiivinen, eli ääriarvo on minimi.
Kiitos kaikille vastanneille! Oli erittäin mielenkiintoinen tehtävä.