Mitenkähän saadaan selville luvun 2006^2007 viimeinen numero ilman laskinta? Eipä taida onnistua kyllä laskimellakaan.
viimeinen numero
Maijuli
43184
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Jokainen kuutoseen päättyvä luku on muotoa 10k 6, k kokonaisluku. Kun kaksi kuutoseen päättyvää lukua, 10k 6 ja 10l 6 kertoo keskenään, saadaan luku (10k 6)(10l 6)=100kl 60k 60l 36, joka siis päättyy kuutoseen. Sovelletaan tulosta tarpeeksi monta kertaa ja huomataan, että 2006^2007 päättyy myös kuutoseen.
Kannattaa opiskella myös kongruensseja, joiden avulla lukujen viimeisiä numeroita saa yleisimmissä tapauksissa selville.
Tämä sitten hoituisi kongruenssilla?
2006^2007=2^2007*17^2007*59^2007
Eulerin lauseen mukaan fii(10)=4, joten lukujen 17 ja 59 eksponentteja voidaan pienentää. 2007=3 mod 4, joten lausekkeen arvo modulo 10 on 2^2007*17^3*59^3. 2^2007=2^(5 5 5 ... 5 2)=2^2*(2^5)^401=2^2*2^401=2^2*2=8 mod 10. Siten lausekkeen arvo modulo 10 on 8*17^3*59^3=8*7^3*9^3=8*3*9=216=6 mod 10.
kongruenssin avulla.. viimeinen numero = luvun jakojäännös jaettaessa luvulla 10. eli pyörittelet kongruensseja mod 10. Diskreetin matikan harkoissa varmaan selviää. :D