Olen kuullut että on piin on todistettu olevan irrationaaliluku? Onko kukaan kuullut vastaavaa, ja jos on, niin onko mitään tietoa miten kyseinen väite pystytään todistamaan. En oleta että kukaan tässä viitsii todistaa sitä, vaan haen enemmänkin todistuksen ideaa.
Samalla voisi kysyä vastaavaa Neperin luvusta eli e=2,71..?
Tuntuu ihan käsittämättömältä pystyä todistamaan tällainen luku irrationaaliluvuksi. Kyseessä ei varmastikaan ole samanlainen todistus, kuin esim. neliöjuuri kahden todistaminen irrationaaliluvuksi kuitenkaan.
Samalla voisi kysyä vastaavaa Neperin luvusta eli e=2,71..?
Tuntuu ihan käsittämättömältä pystyä todistamaan tällainen luku irrationaaliluvuksi. Kyseessä ei varmastikaan ole samanlainen todistus, kuin esim. neliöjuuri kahden todistaminen irrationaaliluvuksi kuitenkaan.
Vastaukset 2
Vanhimmat
Ks. esim. http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html ja http://mathforum.org/isaac/problems/eproof.html
Todistuksia on muitakin (enkä katsonut ovatko nuo oikein, mutta eivätköhän ole), joten koita kuuklailla lisää.
Funktioille voidaan muodostaa potenssisarjakehitelmä, jota sanotaan myös Taylorin sarjaksi
Funktiolle e^x sarjakehitelmä saa muodon
e^x=1 x x^2/2! x^3/3! x^4/4! ..., ,missä k!=1*2*...*k.
Erityisesti kun asettaa x=1 saadaan
e=1 1 1/2 1/3! 1/4! 1/5! ...
Jos e rationaaliluku on meillä e=p/q, missä p ja q kokonaislukuja joilla ei yhteisiä tekijöitä ja q>1.
Toisaalta
e=(1 1 1/2 1/3! ...1/q!) (1/(q 1)! 1/(q 2)! ...)
=p/q
Kerrotaan yhtälö puolittain q! saadaan
q!(1 1 1/2 ... 1/q!) (1/(q 1) 1/(q 1)(q 2) ...)=p(q-1)!
Siis
1/(q 1) 1/(q 1)(q 2) ...=p(q-1)!-q!(1 1 1/2 ... 1/q!). Nyt yhtälön oikea puoli on kokonaisluku. Vasen puoli on selvästi >0.
Lisäksi vasen puoli
1/(q 1) 1/(q 1)(q 2) ...