Testataan teidän fyysikkojen todelliset taidot. Yksinkertaisella palloesimerkillä, jossa monet tekevät virheen. Ratkaisijalle mainetta ja kunniaa!
.........
Minulla on pallo: säde 4 cm, paino 500g ja muuntokerroin on 0,35. Pallon lähtönopeus on 40m/s ja ilman tiheys on 0,001293 (wikipedia). Putoamiskiihtyvyys 9,81. Pallo ammutaan 45 asteen kulmassa.
a) Kuinka pitkälle pallo lentää?
b) Paljonko on sekunnin lennon jälkeen pallon nopeus?
c) Paljonko on sekunnin jälkeen pallon maanopeus?
P.S laitan vastaukset näkyviin pian, jos haluatte, ettekä osaa itse ratkaista?
.........
Minulla on pallo: säde 4 cm, paino 500g ja muuntokerroin on 0,35. Pallon lähtönopeus on 40m/s ja ilman tiheys on 0,001293 (wikipedia). Putoamiskiihtyvyys 9,81. Pallo ammutaan 45 asteen kulmassa.
a) Kuinka pitkälle pallo lentää?
b) Paljonko on sekunnin lennon jälkeen pallon nopeus?
c) Paljonko on sekunnin jälkeen pallon maanopeus?
P.S laitan vastaukset näkyviin pian, jos haluatte, ettekä osaa itse ratkaista?
Vastaukset 21
Vanhimmat
Käyttäkää PIIN likiarvona 3,14:jää
on muuntokerroin???
Pyöristykset voivat olla hieman eri tavalla kuin mitä esitit, mutta suunnilleen seuraavaa:
Pallo lentää n. 152.2 m, nopeus sekunnin lennon jälkeen n. 33.0 m/s ja tämän vaakakomponentti (jos maanopeus sitä tarkoittaa) sekunnin lentoajan jälkeen n. 27.7 m/s.
Korjaus edelliseen, jossa pallon halk. oli 4 cm.
Jos säde on 4 cm, ovat vastaavat luvut suunnilleen seuraavia:
127.8 m , 31.0 m/s ja 26.1 m/s
Turha tuota on yrittää laskea lyhyen matematiikan laskimella. Ei onnistu sitten millään, tai no ehkä logaritmeillä ja pythagoralla.
En viitsi kirjoittaa vastauksia sittenkään. Sanon, että lähelle menee, mutta harakoille menee.
Ei sinun tarvitsekaan kirjoittaa mitään vastauksia, sillä ne ovat riittävällä tarkkuudella jo tuossa edellisessä viestissäni.
Eikä tämä tehtävä edes ole niin vaativa, että siitä kannattaisi enemmän vääntää - aika peruskauraa hieman koulukursseja lukeneelle.
Pitää osata muodostaa voimayhtälöitä ja liiketilan differentiaaliyhtälöitä.
Ratkaisuun pääsee kätevimmin numeerisella integroinnilla, sillä suljetussa muodossa funktiot voivat olla liian hankalia vietäväksi loppuun asti.
Ei kai tässä millään desimaaleilla muutenkaan tarvitse saivarrella, sillä ainakin yksi lähtöarvoista oli melko epätarkasti ilmoitettu, nimittäin lähtönopeus.
Logaritmit voit tässä tapauksessa työntää jonnekin, mutta pythagorasta saatat hieman tarvita.
Koeta itse - saatat löytääkin ratkaisun.
Olen samaa mieltä edellisen kirjoittajan kanssa.
Turha lähteä hiusta halkomaan ja liian teoreettisesti laskemaan. Ilmeisesti aloittaja ei ole koskaan tehnyt suorittavaa työtä.
Turha tarkkuus on... jne
Nyt meni sormi suuhun, laittaisitko kaavat näkyviin, yritin kovasti, mutta eipä siitä sitten tullut mitään
a(pallonpinta-ala M2)=(4*3,14*0,04)-->0,50240000
b(ilmanvastus kg/metri)
=(0,5*0,001293*(40)^2*0,5024*0,35)-->0,1818888960
c(liike-energia lähtö)==0,5*0,5*(40)^2-->400
d(nopeus metrin kohdalla)==0,5*0,5 1-(1-0,1818888960)^(100)=1,25
100 m kohdalla siis lenneltiin 17,88m/s?
Paljonko oli lennon aika?
Kiinnostaisi kovasti tietää, miten ammattifyysikot tälläisiä laskeskelee. Elettäisiinpä kuussa, niin ei tarvitsisi tälläisiä laskeskella.
Siinä vaiheessa, kun pallo on vaakasuunnassa edennyt n. 100 m, on sen
- korkeus n. 25.6 m
- nopeus n. 25.8 m/s
- lentoaika hieman yli 4s
- lentomatka n. 113 m
- lentokulma n. -31.8 astetta eli tulossa alaspäin
Maahan pallo osuu n. 5.4 s lennon jälkeen
Onko siinä ohjelmassasi huomioitu myös noste ,coriolis-kiihtyvyys,magnus-effekti?
Paljonko niiden vaikutus on?
Laskelmillani olen yrittänyt löytää jotain suuruusluokkaa esitetyn tehtävän ratkaisuille ja tulosten esitystarkkuus voi siinä mielessä olla liiallinen.
Corioliskiihtyvyyden merkitys tämän pituisissa lentoradoissa ja näin lyhyillä lentoajoilla on käsittääkseni hyvin pieni ellei jopa merkityksetön.
Magnus-efektin ymmärtäisin liittyvän pallon mahdolliseen pyörimisliikkeeseen ja nosteen pallon tiheyteen suhteessa ilman tiheyteen ja tavallaan mahdollisiin väliaineen virtauksiin.
Mitään näitä kuten ei pallon pinnan sileyden/epätasaisuuden vaikutuksiakaan ole otettu huomioon eikä nopeuden/Reynolds-luvun yms. vaikutuksia virtausvastukseen.
On vain yksinkertaisesti muodostettu liikeyhtälöt sileän pyörimättömästi lentävän pallon liikeradalle, johon vaikuttavat ilmanvastus, maan vetovoima, lähtökulma ja -nopeus. Ilmanvastuskerroin on oletettu nopeudesta riippumattomaksi ja numeerisena arvona on käytetty tehtävässä esitettyä kerrointa 0.35. Liikeyhtälö on numeerisesti ratkaistu ja saatu esitettyjä vastauksia.
Kysymiisi asioihin ei helposti löydy mitään universaaleja ratkaisuja vaan enemmänkin joitakin tapauskohtaisia sovelluksia. Liikeyhtälöihin voidaan periaatteessa tuoda lisätermejä, mutta sitten pitäisi olla tietoa kappaleen pintaominaisuuksista, mahdollisista kierteistä ja niiden suunnista ym. vaikuttavista tekijöistä. Laskentatulokset olisivat varmaan hieman erilaisia, mutta olisivatko sen oikeampia tässä yksinkertaistetutta perustehtävässä.
Kyllä minäkin nuo corioliksen ja nosteen mitättömän vaikutuksen allekirjoitan ikivanhojen dynamiikan opintojen pohjalta.
Tuo Magnus-efekti on ongelmallinen.
Kaikissa pallonlyönneissä ,-potkuissa ynnä muissa vastaavissa se ainakin tekee lentoradasta arvaamattoman.Jos tämä pallo nyt sitten lingotaan tai ammutaan jollain laitteella,niin saa se pallo silloinkin jonkinlaisen pyörimisliikkeen,ja jos tämä koe toistetaan muutaman kerran putoamispaikka voi kyllä olla joka kerta huomattavastikin eri.
Kerta aloitit niin laita nyt näkyville miten asian ratkaisit, sillä olisihan ikävää jos paljastuisit tyhjänpuhujaksi:)
Ilmanvastus Fd(v) = -1/2*0.001293*|v|^2*pi*0.04^2*0.35*v/|v|
= -1.13738e-6 * |v|*v
(nopeus on siis vektori v)
komponenteittain
Fdx(vx,vy) = -1.13738e-6 * sqrt(vx^2 vy^2)*vx
Fdy(vx,vy) = -1.13738e-6 * sqrt(vx^2 vy^2)*vy
Sitten pallon liikeyhtälö vaaka- ja pystysuunnassa:
Fdx = m*ax
Fdy - m*g = m*ay
eli ( merkitään ()´ = d()/dt )
x´´ = 1/m * -1.13738e-6 * sqrt([x´]^2 [y´]^2) * x´
y´´ = 1/m * -1.13738e-6 * sqrt([x´]^2 [y´]^2) * y´ - m*g
alkuarvot
x(0) = 0
y(0) = 0
x´(0) = 28.2843
y´(0) = 28.2843
Siinä on siis kahden differentiaaliyhtälön ryhmä (alkuarvotehtävä, jolle löytyy aina yksikäsitteinen ratkaisu) joista ratkeaa x(t) ja y(t) ja kaikki mahdollinen.
Nostan hattua sille joka nuo analyyttisesti ratkaisee :)
Numeerisesti tuo on varmaan yksinkertaisin mahdollinen esimerkki ja pitäisi onnistua jokaiselta joka esim MATLABista tai vastaavasta on joskus kuullut.
Vaikken ymmärrä siitä juurikaan. Olisi varmaan pitänyt opiskella pitkää matematiikkaa.
piti olla:
y´´ = 1/m * -1.13738e-6 * sqrt([x´]^2 [y´]^2) * y´ - g
eikä
y´´ = 1/m * -1.13738e-6 * sqrt([x´]^2 [y´]^2) * y´ - m*g
http://journals.tubitak.gov.tr/engineering/issues/muh-04-28-6/muh-28-6-3-0404-5.pdf
Tuon artikkelin loppuosassa on käsitelty ilmanvastuksen vaikutusta rataan.
http://en.wikipedia.org/wiki/Trajectory_of_a_projectile
Tuossa mainitsemasi artikkelin http://en.wikipedia.org/wiki/Trajectory_of_a_projectile loppuosassa on oletettu ilmanvastuksen riippuvan lineaarisesti nopeudesta:
"Note: This section considers the case where the force of air resistance may be taken to be in direct proportion to the velocity of the particle"
Tuo malli soveltuu vain pienille nopeuksille, mutta se on siitä hyvä että on mahdollista löytää analyyttinen ratkaisu. Yleensä ilmanvastus kuitenkin käsitellään verrannollisena nopeuden neliöön (pientä suuremmilla nopeuksilla):
http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)
Suomeksikin nuo yhtälöpinot ovat hurjia, mutta vielä kun on englanniksi, niin se alkaa loppupuolella muuttua mahdottomuudeksi. Olisiko näitä selitettynä, jossain helpommin ja mielellään Suomeksi.
on melkeinpä parempi opiskella (ainakin suomen kielen ohella), koska käytännössä kaikki tieteellisesti arvokas materiaali julkaistaan englanniksi ja sen piiristä löytyvät kaikki eri alojen asiantuntijat maailmalla. Suomi on kielialueena pieni ja väestömäärältään vähäinen. Lähes kaikki Suomessa käytettävä tieto tulee tuontitavarana ulkomailta em. syystä.
Saksan kieli on toinen mielenkiintoinen.