Normeista

Sarjan suppenemisen määrittelyyn tarvitaan metrisessä avaruudessa metriikkaa, normi indusoi metriikan... joko tuosta saisi kiinni.

kiitos jo etukäteen kirjoitti:

Sarjan suppenemisen määrittelyyn tarvitaan metrisessä avaruudessa metriikkaa, normi indusoi metriikan... joko tuosta saisi kiinni.

Jos (E,|·|) on normiavaruus, yhtälö d(x,y)=|x-y| määrittelee E:ssä metriikan d. Metriikka kertoo kahden pisteen välisen etäisyyden, ja on epänegatiivinen reaaliluku, ei sarja. Siten kysyn uudelleen: Mitä tarkoitat sarjalla tässä yhteydessä? Auttaisin mielelläni tehtävässä, mutta en ymmärrä kysymystäsi.

Edelleen ihmettelen, miksi sarjan suppenemisen määrittelyyn tarvitaan metriikkaa. Mitä alkioita oikein summaat sarjassa? Kyllähän vaikkapa sarja 0 0 0 ... suppenee, vaikka siinä ei ole mitään topologiaan tai metriikkaan liittyvää.

Tajuamaton kirjoitti:

Jos (E,|·|) on normiavaruus, yhtälö d(x,y)=|x-y| määrittelee E:ssä metriikan d. Metriikka kertoo kahden pisteen välisen etäisyyden, ja on epänegatiivinen reaaliluku, ei sarja. Siten kysyn uudelleen: Mitä tarkoitat sarjalla tässä yhteydessä? Auttaisin mielelläni tehtävässä, mutta en ymmärrä kysymystäsi.

Edelleen ihmettelen, miksi sarjan suppenemisen määrittelyyn tarvitaan metriikkaa. Mitä alkioita oikein summaat sarjassa? Kyllähän vaikkapa sarja 0 0 0 ... suppenee, vaikka siinä ei ole mitään topologiaan tai metriikkaan liittyvää.

Oiskohan nyt kyse suppenevista jonoista sarjojen sijaan?

En ainakaan itse keksi, että miten jokin sarja voi supeta R^n pistettä kohti.

jukepuke kirjoitti:

Oiskohan nyt kyse suppenevista jonoista sarjojen sijaan?

En ainakaan itse keksi, että miten jokin sarja voi supeta R^n pistettä kohti.

Jos kyse on suppenevista jonoista, niin tästä lauseesta on varmaan apua:

"Avaruuden R^n kaikki normit ovat keskenään bilipschitz-ekvivalentit".

jukepuke kirjoitti:

Jos kyse on suppenevista jonoista, niin tästä lauseesta on varmaan apua:

"Avaruuden R^n kaikki normit ovat keskenään bilipschitz-ekvivalentit".

"Avaruuden R^n kaikki normit ovat keskenään bilipschitz-ekvivalentit".

...joka tarkoittaa??

Tajuamaton kirjoitti:

Jos (E,|·|) on normiavaruus, yhtälö d(x,y)=|x-y| määrittelee E:ssä metriikan d. Metriikka kertoo kahden pisteen välisen etäisyyden, ja on epänegatiivinen reaaliluku, ei sarja. Siten kysyn uudelleen: Mitä tarkoitat sarjalla tässä yhteydessä? Auttaisin mielelläni tehtävässä, mutta en ymmärrä kysymystäsi.

Edelleen ihmettelen, miksi sarjan suppenemisen määrittelyyn tarvitaan metriikkaa. Mitä alkioita oikein summaat sarjassa? Kyllähän vaikkapa sarja 0 0 0 ... suppenee, vaikka siinä ei ole mitään topologiaan tai metriikkaan liittyvää.

Siis jonoista piti puhua eikä sarjoista, tullut puhuttua niistä ristiin jo lukiosta lähtien. =)

joo o kirjoitti:

"Avaruuden R^n kaikki normit ovat keskenään bilipschitz-ekvivalentit".

...joka tarkoittaa??

No se tarkottaa sitä, että jos d ja e ovat R^n normeja, niin on olemassa M > 0 siten, että

d(x,y)/M < e(x,y) < M*d(x,y)

kaikilla x,y ∈ R^n.

jukepuke kirjoitti:

No se tarkottaa sitä, että jos d ja e ovat R^n normeja, niin on olemassa M > 0 siten, että

d(x,y)/M < e(x,y) < M*d(x,y)

kaikilla x,y ∈ R^n.

että d(x,y)>=0, että on oltava 1/M =1.

mahtimatemaatikko kirjoitti:

että d(x,y)>=0, että on oltava 1/M =1.

Ja itseasiassa nuo epäyhtälöt ei ole aitoja, vaan

d(x,y)/M ≤ e(x,y) ≤ M*d(x,y)