Jos ajan A:sta B:hen nopeudella 40km/h, niin
kuinka kovaa pitää ajaa takaisin B:stä A:han, että koko reissun keskinopeudeksi tulee 80km/h?
A:n ja B:n välimatkalla ei merkitystä.
kuinka kovaa pitää ajaa takaisin B:stä A:han, että koko reissun keskinopeudeksi tulee 80km/h?
A:n ja B:n välimatkalla ei merkitystä.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Jos kuljet matkan A -> B -> A se on matemaattisesti nopeutta ajatellen sama kuin että olisit ollut paikallaan koko ajan, eli siis keskinopeus tulee tässä tapauksessa aina olemaan 0 km/h.
Nopeuden sijaan tehtävässäsi pitää siis ajatella vauhtia, joka on suunnasta riippumaton suure.
Siis jos menomatkalla vauhti on 40 km/h, niin paluumatkaan ei saa enää kulua lainkaan aikaa, jotta keskivauhti olisi 80 km/h.
Kun kerta matematiikan foorumilla ollaan, niin ajattelin lähestyä ongelmaa matemaatikon näkökulmasta.
Oletus: Väli AB on ajettu vauhdilla 40km/h.
Väite: Ei ole äärellistä vauhtia, jolla keskivauhdiksi tulisi 80km/h.
Todistus:
Antiteesi: Tällainen vauhti v löytyy.
Olkoon ε > 0, välin AB välimatka s ja t1 käytetty tähän käytetty aika. Luonnollisesti, jos koko matkan vauhti kasvaa, niin myös jälkimmäisen välin vauhti kasvaa. Siispä jos koko matka mennään keskivauhdilla 80-ε, niin tätä vastaavan jälkimmäisen osan vauhti v_ε on pienempää, kuin 80 keskivauhtia vastaavan v:n, eli
v > v_ε, kaikilla &epsilon > 0.
Olkoon vielä t_ε jälkimmäiseen osaan kuluva aika, kun keskivauhti on 80-ε. Nyt siis
2s / (t1 t_ε) = 80-ε t_ε = 2s / (80-ε) - s/40,
joten
v > v_ε = s / [ 2s/(80-&epsilon) - s/40 ] = ... = 40(80/ε - 1).
Nyt siis v_&epsilon → ∞, kun &epsilon → 0, joten v ei voi olla äärellinen. Tämä on ristiriita ja väite on todistettu.
Jos vielä tarkkoja ollaan, niin ristiriita syntyy siitä, että koska v_ε → ∞, kun ε → 0, niin on olemassa ε_0 > 0 siten, että v_ε > v, kun ε < ε_0. Tämä taas on ristiriidassa sen kanssa, että
v > v_ε, kaikilla ε > 0.
Ajatellaan matkoja ja aikoja, niin se ratkeaa.
A -> B: 40 kmh, esim. 40 km, 1 h
B -> A: a kmh, esim. 40 km, b h
ja lisäksi:
(40 40)/(1 b) = 80
saadaan:
b = 80/80 - 1 = 0
Vastaus: Paluumatka pitää ajaa äärettömän nopeasti, koska sille on varattu aikaa 0. Ja koska tällainen nopeus on mahdoton, niin lopullinen vastaus on, että jos menomatkan ajaa puolella tavoitenopeudesta, niin paluumatkalla ei sitä enään millään keinolla voi ottaa takaisin.