Kertokaas viisaammat miten tämä menee.
Annettuna magma G, eli joukko ja siinä jokin laskutoimitus, sekä jokin ekvivalenssirelaatio R G:ssä. Nyt G/R on tekijäjoukko, eli joukko jonka alkioina on G:n erillisiä osajoukkoja, eikö? Nyt jos G:ssä on määritelty laskutomitus *, niin mitä tarkoittaa, että joukossa G/R käytetään myös laskutoimitusta *?
Siis on annettuna G=(X,*) ja R ja tekstissä todetaan "jos G/R on myös magma (laskutoimituksena *) ja..", niin miten G/R:n alkioilla "lasketaan"?
Annettuna magma G, eli joukko ja siinä jokin laskutoimitus, sekä jokin ekvivalenssirelaatio R G:ssä. Nyt G/R on tekijäjoukko, eli joukko jonka alkioina on G:n erillisiä osajoukkoja, eikö? Nyt jos G:ssä on määritelty laskutomitus *, niin mitä tarkoittaa, että joukossa G/R käytetään myös laskutoimitusta *?
Siis on annettuna G=(X,*) ja R ja tekstissä todetaan "jos G/R on myös magma (laskutoimituksena *) ja..", niin miten G/R:n alkioilla "lasketaan"?
Vastaukset 7
Vanhimmat
"Annettuna magma G, eli joukko ja siinä jokin laskutoimitus, sekä jokin ekvivalenssirelaatio R G:ssä. Nyt G/R on tekijäjoukko, eli joukko jonka alkioina on G:n erillisiä osajoukkoja, eikö? Nyt jos G:ssä on määritelty laskutomitus *, niin mitä tarkoittaa, että joukossa G/R käytetään myös laskutoimitusta *?"
G/R on siis joukko, jonka alkioina ovat G:n ekvivalenssiluokat. Todennäköisesti tuo "joukossa G/R käytetään myös laskutoimitusta *" tarkoittaa sitä, että jos a,b kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan ja x,y kuuluvat samaan ekvivalenssiluokaan, niin a*x ja b*y kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan. Tällöin * indusoi hyvin määritellyn laskutoimituksen myös tekijäjoukolle G/R, joskaan * ei tietenkään itsessään ole G/R:n laskutoimitus.
"Siis on annettuna G=(X,*) ja R ja tekstissä todetaan "jos G/R on myös magma (laskutoimituksena *) ja..", niin miten G/R:n alkioilla "lasketaan"?"
Kuten millä tahansa muillakin laskutoimituksillä, suoraan määritelmän mukaan. Mutta jos homma menee kuten edellä arvelin, niin silloin jos E ja F ovat G/R:n alkioita ja x kuuluu E:n ja y kuuluu F:n, niin E*F on se ekvivalenssiluokka johon x*y kuuluu.
"Todennäköisesti tuo "joukossa G/R käytetään myös laskutoimitusta *" tarkoittaa sitä, että jos a,b kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan ja x,y kuuluvat samaan ekvivalenssiluokaan, niin a*x ja b*y kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan."
Mutta kun nimenomaan ei tarkoita. Tuohon tullaan parin sivun päästä. Siinä puhutaan yleisesti magmasta G=(X,*) ja, ilmeisesti, magmasta G'=(X/R,*) missä * on "sama" kuin G:ssä.
Onkohan tuossa källi? Jos kirjoittaja on tarkoittanut, että käytetään laskutoimitussymbolina samaa kuin toisessa rakenteessa, mutta toiminta voi (ja onkin) eri? Ihmetyttää vain, että miksi on korostettu erikseen "käytetään samaa laskutoimitusta".
"Kuten millä tahansa muillakin laskutoimituksillä, suoraan määritelmän mukaan."
En ymmärrä. Taidan olla vähän tyhmä...
Jos meillä on määriteltynä vaikka A=(N, ) eli luonnollisten lukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla ja vaikka ekvivalenssirelaatio, missä kaikki luvut, joissa on sama määrä numeroita muodostavat oman ekvivalenssiluokkansa, niin miten yhteenlaskua "lasketaan" näiden luokkien kesken?
Jos tahdotaan käyttää normaalia yhteenlaskua eli indusoimalla tekijäjoukkoon ei tämä ole mahdollista, sillä laskutoimitus ei ole hyvin määritelty eli riippuu edustajiensa valinnasta esim. Olkoon A vaikka 2-numeroiset luvut ja B 3-numeroiset luvut. Nyt mitä on A B?, jos valitaan A:n edustajaksi vaikka 10 ja B:n edustajaksi 100 niin 10 100=110 tarkoittaisi että A B=B jos taas A edustjaksi 99 ja B edustajaksi 901 niin 99 901=1000 eli A B=C missä C nelinunmeroiset luvut. Siis A B=B ja toisaalta A B=C ja B=/=C eli huonosti määritelty laskutoimitus.
"Onkohan tuossa källi?"
Todennäköisesti kyllä. Ehkä prujussa on määritelty laskutoimitus eritavalla, mutta ehdottomasti tavallisin on määrittää laskutoimitus ekvivalenssiluokkien avulla.
"Jos meillä on määriteltynä vaikka A=(N, ) eli luonnollisten lukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla ja vaikka ekvivalenssirelaatio, missä kaikki luvut, joissa on sama määrä numeroita muodostavat oman ekvivalenssiluokkansa, niin miten yhteenlaskua 'lasketaan' näiden luokkien kesken?"
En nyt sitten tiedä, miten prujussasi laskutoimitus määritellään. Minulle ei ole tullut koskaan vastaan ositusta ekvivalenssiluokkiin sen mukaan, montako numeroa luvussa on. Tapaus taitaa olla niin harvinainen, että olisi syytä määritellä eksplisiittisesti mitä laskutoimituksella tässä tapauksessa tarkoitetaan.
Kyllä siinä taitaa olla erhe tai asia hieman harhaanjohtavasti esitetty tai sisälukutaitoni on pettänyt pahemman kerran (joka ei sekään olisi uutta).
Prujussa ei ole määritelty laskutoimitusta mitenkään, muuta kuin kuvauksena * : XxX -> X, eli ihan normaaliin tapaan. Magmassa sitten käytetään laskutoimitukselle symbolia * ja tosiaan mainitaan, että käytetään samaa laskutoimitusta "magmassa G/E".
"Minulle ei ole tullut koskaan vastaan ositusta ekvivalenssiluokkiin sen mukaan, montako numeroa luvussa on."
Ei minullekaan, keksin tuon päästäni. Mutta sillähän ei pitäisi olla merkitystä, ekvivalenssi mikä ekvivalenssi, ei siinä käsittääkseni pitäisi laskutoimituksella välttämättä olla mitään väliä?
Kiitos vastanneille, sain varmistusta sille miten asia on!
"Mutta sillähän ei pitäisi olla merkitystä, ekvivalenssi mikä ekvivalenssi, ei siinä käsittääkseni pitäisi laskutoimituksella välttämättä olla mitään väliä?"
Yleensä kylläkin, mikäli muuta ei sanota, ajatellaan, että laskutoimitus indusoituu tekijämagmaan. Tässä tapauksessa kuitenkin indusointi on mahdotonta, kuten fffffffs totesi. Jos halutaan käyttää jotakin toista laskutoimitusta, on se määriteltävä erikseen.
"Yleensä kylläkin, mikäli muuta ei sanota, ajatellaan, että laskutoimitus indusoituu tekijämagmaan. "
Tässä kirjoittaja on sitten varmaan mieltänyt asian noin, koska kyseessä on juuri johdatus siihen mitä laskutoimituksen indusoituminen tekijämagmaan tarkoittaa.
En kyllä muuta selitystä tuolle keksi.
Rasittavaa kun pitää ymmärtää ja tehdä asia justiin eikä melkein ja sitten löytyy tällaisia epäjohdonmukaisuuksia uuden lukijan näkökulmasta (olkoonkin, että ne ovat inhimillisiä tekijää ajatellen). Aiemmin oli kirjoitettu "myös" erääseen kohtaa kun olisi pitänyt olla "vain" tms. Tuohonkin piti pyytää konsultaatiota viisaammilta...
Jospa se nyt tästä :)