Probleemaa

80km/h= 80 000m/3600s = 22,222222 m/s

reaktiomatka-tod s=vt= 22,22222m/s x 1,2s = 26,6666 m

jarrutusmatka-tod= A

massa1100 kg

Ek-µm(v2-v1)

100 000 m / 3600 s = 27,777777 m/s

½ mv2 - µmgs

1/2mv2 = µmgs

½ v2 = µgs

v2 = 2µgs

µFs= 0,75x1/2mv2= 0,75x 1/2x 1100kg x (22,222222 m/s)2= 203703,703703703 J

µFs=1/2mv2

s=1/2mv2 = 0,5x m x 22,2222222(toiseen) molemmin puolin massat supistuvat.
µmg 0,75 x 9,81

s= 33, 560 m 1,2 s x 22,22222222222 m/s = 60,22666 m

Sadassa kilsassa: Jarrutusmatka alussa: 27,7777777 m/s x 1,2 s = 33,333333333m

Jäljelle jäävä jarrutusmatka: 60,226666-33,3333333m = 26,893333m

1/2mv2-µFs= 0,5x1100 kg x (27,77777777)2- 0,75x 1100kg x 9,81 m/s2 x 26,8933333 = 424382,716 J – 217654,469973 J = 206728,246 J törmäyshetkellä. Törmäyshetken kineettinen energia.

"Ongelman ratkaisutapa kiinnostaa vastauksen lisäksi."

Ainakin näin onnistuu:

A) Lasket miten kaukana hirvestä auto oli kun havaitsit sen.
B) Lasket mitä tapahtuu samalta etäisyydeltä tuolla suuremmalla nopeudella.


Eli jotain tällaista (jos nyt onnistuin laskemaan oikein tämän):


A) Lasketaan ensin, missä auto oli kun ensin havaitsit hirven.

Lasketaan ensin tuo itse jarrutus:

putoamiskiihtyvyys g = 9,81 m/s^2
kitkakerroin k = 0,75
a = kiihtyvyys
v0 = alkunopeus = 80 km/h = 22,22 m/s
v1 = loppunopeus = 0
t = aika
x0 = alkupiste
x1 = loppupiste = 0
m = massa = 1100 kg (mutta tällä ei ole merkitystä)

1) Autoon vaikuttava kitkavoima F = mgk
2) Voima aiheuttaa kappaleelle kiihtyvyyden/hidastuvuuden siten, että F = ma.
3) Nopeus muuttuu siten, että v1 = v0 at. Koska kyse on hidastumisesta, on a negatiivinen, eli v1 = v0 - at.
4) Matkaa kuluu siten, että x1 = x0 v0t 1/2 at^2. Ja koska kyse on hidastumisesta, pitää a:n taas olla negatiivinen, eli x1 = x0 v0t - 1/2 at^2
5) 1 ja 2: ma = mgk -> a = gk.
6) 3 ja 5: v1 = v0 - gkt -> t = -(v1-v0)/gk
7) 4 ja 6: x1 = x0 - v0(v1-v0)/gk - 1/2 gk(-(v1-v0)/gk)^2
-> x0 = x1 v0(v1-v0)/gk 1/2 gk((v1-v0)/gk)^2

sijoitetaan tunnetut arvot viimeiseen (sitä voisi tietenkin ensin vähän sieventää, jos jaksaisi, mutta käy se näinkin):

x0 = 0 22,22 m/s * (0 m/s - 22,22 m/s)/(9,81 m/s^2 * 0,75) 1/2 (9,81 m/s^2 * 0,75)(0 m/s - 22,22 m/s)/(9,81 m/s^2 * 0,75)^2
= 22,22 m/s * (-22,22 m/s)/(7,375 m/s^2) 1/2 (7,375 m/s^2)((-22,22 m/s)/(7,375 m/s^2))^2
= - 66,95 m 33,47 m = - 33,48 m

Tuo siis oli jarrutusmatka. Ennen jarrutusta autosi kulki reaktioaikana 22,22 m/s * 1,2 s = 26,66 m

Havaitsit siis hirven - 33,48 m - 26,66 m = - 60,14 m päästä, eli noin paljon ennen törmäystä.


B) Lasketaan paljonko auto ehtii hidastua 100 km/h nopeudesta tuolla matkalla.

Lisätään ensin lähtöpisteeseen reaktioikana kuljettu matka:
100 km/h * 1,2 s = 27,78 m/s * 1,2 s = 33,34 m

Alkuarvot itse jarrutukselle samat kuin edellisessä, paitsi:

x0 = - 60,14 m 33,34 m = - 26,80 m
v0 = 100 km/h = 27,78 m/s
v1 tuntematon

8) merkitään d = v1-v0
9) ratkaistaan ylempää kohdasta 7 d = v1-v0:

x1 = x0 - v0(v1-v0)/gk - 1/2 gk(-(v1-v0)/gk)^2
-> x1 = x0 - v0d/gk - 1/2 gk(-d/gk)^2
-> x1 = x0 - v0d/gk - 1/2 d^2/gk
-> x1 - x0 = - v0d/gk - 1/2 d^2/gk
-> (x1 - x0)gk = -v0d - 1/2 d^2
-> 1/2 d^2 v0d (x1 - x0)gk = 0

Tähän voikin käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa, jolloin:

d = (-v0 - sqrt(v0^2 - 4 * 1/2 * (x1 - x0)gk))) / 2 * 1/2

Ja kun d = v1 - v0, niin haluttu

v1 = -v0 - sqrt(v0^2 - 4 * 1/2 * (x1 - x0)gk)) v0
= - sqrt(v0^2 - 2(x1-x0)gk))

Tuohon sitten tökätään tunnetut arvot:

v1 = - sqrt((27,78 m/s)^2 - 2(0 m 26,80 m)(9,81 m/s^2 * 0,75))
= - sqrt(771,7 m^2/s^2 - 394,36 m^2/s^2)
= - sqrt(377,34 m^2/s^2)
= - 19,42 m/s

Törmäät siis hirveen nopeudella 19,42 m/s eli 69,91 km/h.