Miten derivoidaan funktio f(x,y)=((2x^2) (3y^3))^14?
useamman muuttujan funktioista
mätikkä
14980
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Ensiksi pitää tietää, minkä muuttujan suhteen derivoidaan. Sen jälkeen derivoidaan tämän muuttujan suhteen ulkofunktiosta lähtien pitäen muita muuttujia vakioina.
Korkeamman kertaluvun derivaatat menevät saman säännön mukaan, kuitenkin siten, että sekaderivaatat (esim. d^2 f(x,y)/(dx dy)) voidaan derivoida kummassa järjestyksessä tahansa.
Ongelma on lähinnä se mistä lähteä liikkeelle. Jos lähden ottamaan x:n osittaisderivaatan, niin menenkö metsään jos lähden liikkeelle tyyliin: [14((2x^2) (3y^3))^13]* 4x, eli kun lähden derivoimaan x:n suhteen niin pitääkö tuo funktio paloitella jotenkin ensin, vai onko tuo ratkaisu oikea? Toinen vaihtoehto jota ajattelin olisi 14(2X^2)^13 * 4x. ?
Oon aika pihalla näistä, mutta kestäkää..
kirjoittavasi tuo alkuperäinen lauseke
polynomiksi. Siitä löytyy x:n potensseja
ja termejä, joissa ei olle x:ää. Jälkimmäisten
derivaatta x:n suhteen on nolla, ja edellisissä
on jokin x:n potenssi varustettuna kertoimella,
jossa on y, tai sitten ei. Käytännössä varmaa
on, että derivaatassa on tuo y mukana vakiona
jollain tavalla.
Jos derivoit x:n suhteen, niin silloin y:n lauseke on derivoinnissa vakio. Silloin alkuperäisen kanssa ekvivalenttinen lauseke on
[2*x^2 C]^14,
jonka derivaatta on tietysti
[2*x^2 C]^13*4*x.
Siten on aivan sama, miten paljon muuttujia funktiossa on, koska muut kuin derivoinnissa aktiivinen ovat operaatiossa vakioita.
Muista myös, että derivaatta voidaan laskea myös muihinkin suuntiin kuin x- tai y-akselin suuntaan. Tällöin derivaatta on laskettava erotusosamäärän raja-arvon perusteella.
"[2*x^2 C]^14,
jonka derivaatta on tietysti
[2*x^2 C]^13*4*x. "
Melkein, mutta ei aivan, nimittäin jotain unohtui. Mitä on yleisesti [f(x)]^n:n derivaatta (sopivalla n)? Onko se f'(x)*n*[f(x)]^(n-1) vai f'(x)*[f(x)]^(n-1)?
Analyysissa tulee vastaan ketjusääntö, jolla voi derivoida yhdistettyjä funktioita
f o g: R^m -> R^n -> R, missä sisäfunktio on g ja ulkofunktio f ja m,n ovat luonnollisia lukuja.
Ketjusääntö kertoo yhdistetyn funktion i:nnen osittaisderivaatan, joka on ulkofunktion gradientin ja sisäfunktion vastaavan osittaisderivaatan pistetulo, kun ulkofunktion gradientti lasketaan pisteessä g(x,y),
missä i =1,...,m, oletusten voimassaollessa, eli mainitaan että f ja g ovat määrittelyjoukossaan differentioituvia jos vain mahdollista.(osoittaminen työlästä raja-arvotarkastelua)
Tässä tapauksessa fog:R^2 -> R -> R,
g(x,y) = 2x^2 3y^2 ja f(x) = x^14.
Ketjusääntö saa muodon D_i(fog)(x,y) = f'(g(x,y))*D_ig(x,y) eli f:n gradientti on nyt f'(x) = 14x^13 ja pisteessä sisäfunktio
f'(g(x,y)) = 14(2x^2 3y^2)^13, D_1g(x,y) = 4x ja D_2g(x,y) = 6y jolloin
D_1(fog)(x,y) = 56x(2x^2 3y^2)^13 ja
D_2(fog)(x,y) = 84y(2x^2 3y^2)^13.
Tietenkin pääset helpommalla derivoimalla suoraan yhdistettyä funktiota mutta ketjusääntö on menetelmänä yleinen
Tuo ketjusääntö ei kuulu kurssin alueeseen, joten sitä en ala opettelemaan.
Onko tuo suoraan derivoimalla niin yksinkertainen kuin f(x,y)= (2x^3 3x^3)^14
"[2*x^2 C]^14,
jonka derivaatta on tietysti
[2*x^2 C]^13*4*x"
niin
Fx = (2x^2 3y^3)^13 4x ja
Fy = (2x^2 3y^3)^13 9y^2 ??
-paljon kiitoksia
Itsellä oli kopioitu väärin sisäfunktio g(x,y) ja sinä laskit väärin osittaísderivaatat.
Näinhän oli g(x,y) = 2x^2 3y^3.
Muutokset
f'(g(x,y)) = 14(2x^2 3y^3)^13, D_2g(x,y) = 9y^2 jolloin
D_1(fog)(x,y) = 56x*(2x^2 3y^3)^13 ja
D_2(fog)(x,y) = 126y^2*(2x^2 3y^3)^13.
D_1 on osittaisderivaatta x:n suhteen ja D_2 on o.d. y:n suhteen.
Mitä tulee ketjusäännön opetteluun, niin jo suoraan derivointi tapahtuu sillä, eli
D_if(g(x,y)) = Df(g(x,y))*D_ig(x,y) ,
huomaa että sama saatiin myös yleisestä ketjusäänöstä.
Kiitokset! Vaivaisin vielä vähän sua jos sulta löytyy tietoa korkeammam asteen epäyhtälöistä.
Eli miten ratkaistaan kolmannen asteen epäyhtälö x^3 2x^2 5x >_(on suurempi tai yhtäsuuri) 0
Kun laitan tuon osiin saadaan x(x^2 2x 5)>_0
Tuosta nähdään että x=0, mutta miten tuo ratkaistaan loppuun, kun 2.asteen ratkaisukaavan diskriminatiksi tulee negatiivinen luku?
Mainittakoon vielä, että kopleksilukujuuret ei kuulu kursiin.
Olet ratkaisut ainoaksi nollakohdaksi arvon
x = 0, mikä tarkoittaa, että x^2 2x 5 on joko aidosti negatiivinen tai aid. posit. kaikilla x:n reaaliarvoilla. Tässä tapauksessa näät sijoituksella että jälkimmäinen. Jos käytössäsi on graafinen laskin tms voit varmistua asiasta. Entäs ratkaisu ... ?
X>_0?
me soitettaan keskisuomen analyysipalveluun ja tilataan niiltä yksi derivaatta ja muistetaan sanoa että ei sitten puhuta muille. kun ei saatana taas itte viittiny kymmentä minuuttia lukea.