Eräässä harrastuksessani tulee esille seuraavanlainen satunnaiskävelyyn ja todennäköisyyslaskentaan liittyvä ongelma (ei liene kovin vaikea arvata mikä harrastus).
Tarkastellaan yksiulotteista satunnaiskävelyä, jossa askel alas ja ylös ovat yhtä todennäköisiä. Lähdetään origosta liikkeelle. Olkoon muuttujana askelpituus L. Satunnaiskävelyssä otettavien askelten määrä N määrätään siten, että kiinnitetään M siten että M = N*L. Nyt siis N askeleen jälkeen satunnaiskävelijän paikan odotusarvo on nolla riippumatta askelpituudesta L ja varianssi määräytyy käsittääkseni kaavalla N*L^2 = M*L.
Lisätään sitten tilanteeseen vielä eräs ominaisuus. Asetetaan jollekin tasolle korkeudelle -H "tahmainen lattia" johon satunnaiskävelijä jämähtää, jos se saavuttaa tämän tason -H. Tällä tasolla satunnaiskävelijä siis menettää satunnaisuutensa ja kulkee loput askeleet tällä tasolla. Perustava kysymys kuuluu, että vaikuttaako tämän tason -H läsnäolo satunnaiskävelyn paikan odotusarvoon? Jos vastaus tähän on myönteinen niin millainen on paikan odotusarvo askelpituuden L funktiona, kun askelten määrä N valitaan edelleen siten että jollekin valitulle M pätee M = N*L?
Omia pohdintoja liittyen tilanteeseen:
- Jos otettaisiin ääretön määrä askeleita käsittääkseni satunnaiskävelijä ylittää jossain vaiheessa kaikki mahdolliset tasot, jolloin paikan odotusarvoksi saataisiin tämä lattia -H.
- Kuitenkin jokaista N' askeleen jälkeen tasolle -H saapuvaa satunnaiskävelijää kohden on olemassa N' askeleen jälkeen tasolle H saapuva satunnaiskävelijä. Satunnaiskävelijän todennäköisyys N' askeleen jälkeen päätyä tasolle H on sama kuin tasolle -H. Nyt kuitenkin N' askeleen jälkeen tasosta H lähtevän satunnaiskävelijän odotusarvo kun se suorittaa askeleensa loppuun on H. Näin -H tasolle joutuneen satunnaiskävelijän vaikutus tulee kumotuksi ja kokonaisuudessaa paikan odotusarvoksi saadaan nolla.
Tarkastellaan yksiulotteista satunnaiskävelyä, jossa askel alas ja ylös ovat yhtä todennäköisiä. Lähdetään origosta liikkeelle. Olkoon muuttujana askelpituus L. Satunnaiskävelyssä otettavien askelten määrä N määrätään siten, että kiinnitetään M siten että M = N*L. Nyt siis N askeleen jälkeen satunnaiskävelijän paikan odotusarvo on nolla riippumatta askelpituudesta L ja varianssi määräytyy käsittääkseni kaavalla N*L^2 = M*L.
Lisätään sitten tilanteeseen vielä eräs ominaisuus. Asetetaan jollekin tasolle korkeudelle -H "tahmainen lattia" johon satunnaiskävelijä jämähtää, jos se saavuttaa tämän tason -H. Tällä tasolla satunnaiskävelijä siis menettää satunnaisuutensa ja kulkee loput askeleet tällä tasolla. Perustava kysymys kuuluu, että vaikuttaako tämän tason -H läsnäolo satunnaiskävelyn paikan odotusarvoon? Jos vastaus tähän on myönteinen niin millainen on paikan odotusarvo askelpituuden L funktiona, kun askelten määrä N valitaan edelleen siten että jollekin valitulle M pätee M = N*L?
Omia pohdintoja liittyen tilanteeseen:
- Jos otettaisiin ääretön määrä askeleita käsittääkseni satunnaiskävelijä ylittää jossain vaiheessa kaikki mahdolliset tasot, jolloin paikan odotusarvoksi saataisiin tämä lattia -H.
- Kuitenkin jokaista N' askeleen jälkeen tasolle -H saapuvaa satunnaiskävelijää kohden on olemassa N' askeleen jälkeen tasolle H saapuva satunnaiskävelijä. Satunnaiskävelijän todennäköisyys N' askeleen jälkeen päätyä tasolle H on sama kuin tasolle -H. Nyt kuitenkin N' askeleen jälkeen tasosta H lähtevän satunnaiskävelijän odotusarvo kun se suorittaa askeleensa loppuun on H. Näin -H tasolle joutuneen satunnaiskävelijän vaikutus tulee kumotuksi ja kokonaisuudessaa paikan odotusarvoksi saadaan nolla.
Vastaukset 1
Vanhimmat
...sauvakävely?