koitin äsken miettiä kaavaa
(x y)^a=x^a y^a,
missä a on alkuluku tai sen potenssi.
Eräässä kirjassa käytettiin tätä hyväksi erittäin paljon, mutta en usko että sen käyttö olisi sallittua kaikilla x,y. Enemmänkin heuristisesti voisi sanoa, että jos tämä pätee niin sittebn pätee kaikki
(x y)^a=x^a y^a,
missä a on alkuluku tai sen potenssi.
Eräässä kirjassa käytettiin tätä hyväksi erittäin paljon, mutta en usko että sen käyttö olisi sallittua kaikilla x,y. Enemmänkin heuristisesti voisi sanoa, että jos tämä pätee niin sittebn pätee kaikki
Vastaukset 5
Vanhimmat
ei päde koita esim x=1 ja y=1, silloin a=1 eli pätee kaikilla x,y eli löytyy x jolle epsilon pätee
Kaava ei toimi normaalissa reaaliluku-laskennassa, mutta "=" on voimassa kun tutkimme kongruensseja modulo a.
Siis kaava on tarkemmin merkittynä
(x y)^a=x^a y^a (mod a)
(1 1)^4=0 mod 4
1^4 1^4=2 mod 4.
(x y)^a = x^a y^a (mod p) missä p on alkuluku ja a on p:n jokin potenssi.
Alkuperäisessä viestissä sanottiin että a on alkuluku tai sen potenssi.
Tiedetään, että kun a on alkuluku, niin
(x y)^a=Summa(k=0..a) Binomikerroin(a,k)*x^(a-k)y^k
Että Binomikerroin(a,k)=0 mod a, kun k ei 0 tai a. Josta väite on voimassa kun a alkuluku. Ei ole vaikea osoittaa (induktiolla) että väite on voimassa myös kun a on alkuluvun potenssi.