Olkoon X ja Y normaalijakautuneita, riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat N(1,8)-jakaumaa. Laske todennäköisyydet seuraaville tapahtumille:
(a) X ≥ 2.
(b) X Y ≥ 4.
(c) X:n ja Y:n keskiarvo on suurempi kuin 2.
Mitä jakaumaa noudattaa X:n ja Y:n keskiarvo?
(a) X ≥ 2.
(b) X Y ≥ 4.
(c) X:n ja Y:n keskiarvo on suurempi kuin 2.
Mitä jakaumaa noudattaa X:n ja Y:n keskiarvo?
Vastaukset 9
Vanhimmat
N(1,8) normaalisti tarkoittaa normaalijakautunutta suureta odotusarvona 1 ja varianssina 8, jossain kirjallisuudessa tuo 8 olisi keskihajonta. Oletan varianssimerkinnän. (Neliöjuuri sqrt).
a)
Tee muunnos z=(x-1)/sqrt(8), tällöin z~N(0,1)
P(x≥2)=P(z≥(2-1)/8))=1-P(z
No tuo A kohta on aika simppeli, mutta ei nuo vastaukset pahemmin B tai C selventäny.
Onko vektori tai matriisimerkinnät tuttuja?
Merkitään vektorina X=(x,y) ja U=(1,1), missä X on satunnaimuuttuja ja u odotusarvo (vektoreita)
ja S=
8 0
0 8
kovarianssimatriisi (diagonaalimatriisi)
Merkitään J=(1,1) ykkösvektori.
Nyt voidaan yhteenlasku esittää x y=J^T*X (J^T on J:n transpoosi)
Tällöin odotusarvo x y:lle on J^T*U=2 ja kovarianssimatriisi (1x1-matriisi eli varianssi) J*S*J^T=16
Yleisesti lineaarikuvaus normaalijakautuneelle muuttujalle pysyy normaalijakautuneena.
Eli yleisesti: Jos X normaalijakutunut N(U,S), ja A lineaarikuvauksen matriisi niin AX normaalijakautunut N(AU,ASA^T)
Millä tn-kurssilla tuli vastaan?
Minä opettelin nuo tn1-kurssilla yliopistossa. Varmasti monesta yliopistotason tn-laskennan oppikirjasta löytyy teoriaa selitettynä.
En ole törmännyt monisteissa kuitenkaan. Onko linkkejä tai mitään, suomeksi mielellään?
Muistaakseni kirjassa Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes, 2002 on selitetty noita asiota. Se ainakin on yliopiston todennäköisyyslaskennan peruskurssin oppikirja, joten se pitäisi olla sopivan helppolukuista lukion kurssin jälkeen ja jos osaa useamman muuttajan integraalilaskentaa.
En nyt tarkkaan muista mitä kaikkea kirjassa käsitellään, mutta muistaakseni siellä oli puhetta kovarianssimatriiseista. Voin olla myös väärässä.
Se tuli vielä mieleen kirjasta, että en ole missään muussa yliopistotason kirjassa nähnyt yhtä paljon käsienheiluttelua kuin Tuomisessa. Jos todennäköisyys kiinnostaa teoreettiselta kannalta, kannattaa etsiä jotain muuta materiaalia, mutta en sitten tiedä löytyykö sellaista suomeksi. Tuomisesta oppii kyllä laskemaan laskuja jos asioihin paneutuu, mutta ainakin minulle jäi tunne, että en osaa tn-laskennan teoreettista puolta ollenkaan. Kirjan luettuani ainakin minulta meni maku tn-laskentaan.
a-kohta normitetaan ja jatkuvan satunnaismuuttujan ominaisuuksien nojalla
P(X ≥ 2) = 1 - P((X-1)/sqrt(8)) < (2-1)/sqrt(8)) = 1 - Φ(1/sqrt(8)) ≈ 0,3632
Kun X ja Y ovat riippumattomia satunnaismuuttujia sekä kummatkin noudattavat
N(1,8)-jakaumaa, voidaan osoittaa, että X Y noudattaa N(2,16)-jakaumaa. Vastaavasti b-kohta
P(X Y ≥ 4) = 1 - P((X Y-2)/4 < (4-2)/4)
= 1 - Φ(0,5) ≈ 0,3085.
Olkoon nyt U = X/2 ja V = Y/2. U:n kertymäfunktio F_U(u) = P(U ≤ u) = P(X/2 ≤ u)
= P(X ≤ 2u) = F_X(2u), derivoituna
f_U(u) = 2f_X(2u) muodostamalla tiheysfunktio huomataan, että U noudattaa N(1/2,2)-jakaumaa ja myös vastaavasti V. Koska U ja V ovat riippumattomia, b-kohdassakin käytetyllä tuloksella U V noudattaa N(1,4)-jakaumaa.
Eli P((X Y)/2 > 2) = P(U V > 2)
= 1 - P((U V -1)/2 ≤ (2-1)/2) = 1 - Φ(0,5)
≈ 0,3085
tai helpommin P((X Y)/2 > 2) = P(X Y > 4)
= P(X Y ≥ 4), mikä on jo laskettu b-kohdassa