toisen asteen yhtälöstä

Oletko kuullut negatiivisista luvuista, tai siitä, minkä merkkinen on kahden negatiivisen luvun tulo?

Ne luvut sijoitetaan tietysti siihen ratkaisukaavaan etumerkkeineen. Esimerkiksi jos meillä on yhtälö

-2*x^2-3*x-1=0,

niin juuret ovat

x1 =(-(-3) sqrt((-3)^2-4*(-2)*(-1)))/(2*(-2))

ja

x2 =(-(-3)-sqrt((-3)^2-4*(-2)*(-1)))/(2*(-2))

eli sievennettyinä x1 = -1 ja x2 = -1/2.

Asian pitäisi olla aika yksinkertainen:

Yhtälön ax^2 bx c=0 ratkaisu, eli nollakohdat saadaan kaavalla

[b - njuuri(b^2-4ac)]/(2a).

- tarkoittaa, että kyseessä on (mahdollisesti) kaksi eri nollakohtaa, sen mukaan valitsemmeko plussan vai miinuksen.

Mutta voit aina jakaa yhtälön a:lla ennen ratkaisemista,(ellei a=0, mutta silloin yhtälö ei ole toiseen asteen yhtälö).

Yhtälön x^2 bx c ratkaisu on vain
b - njuuri(b^2-4c). Tämä saattaa olla helpompi muistaa.

4ac (tai 4c) aina vähennetään b^2:stä. Sinun pitää vain huomata, että kahden reaaliluvun tulo on negatiivinen vain jos täsmälleen yksi tekijöistä on negatiivinen. Sen sijaan negatiivisen luvun vähentäminen on käytännössä positiivisen luvun lisäämistä: y-(-z)=y z.

Edellämainittu negatiivisten lukujen hallinta pitäisi olla ala-asteella jo opittua. :)

Sen sijaan neliöjuuren sisällä oleva luku saattaa olla nolla, jolloin yhtälöllä on vain yksi nollakohta TAI luku voi olla negatiivinen, jolloin sinulla on kaksi kompleksiratkaisua, mutta ei yhtään reaaliratkaisua.

Eli reaalimaailmassa kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisuja ollenkaan, mikä on matemaattisesti rumaa.

Siksi määrittelemme kompleksiluvut: ne esittävät luvun muodossa a bi, missä a ja b ovat reaalilukuja, ja i on yksi yhtälön x^2 1=0 ratkaisuista. (Toinen ratkaisu on tietenkin -i).

Myös reaaliluvut ovat kompleksilukuja, kun b=0. Kompleksilukujen joukko vastaa reaalitasoa (esim. luku a bi voidaan käsittää tason pisteenä (a,b) )

Algebran fundamentaalinen teoreema kertoo seuraavaa: "Yhden muuttujan polynomiyhtälöllä (jonka kertoimet ovat kompleksilukuja) on aina yhtälön asteen kertoma määrä nollakohtia (jos sallimme että osa nollakohdista voi toistua)."

Idea on se, että kompleksilukujen kanssa työskennellessä mikä tahansa n asteen polynomi voidaan kirjoittaa muodossa (x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,...,xn ovat nollakohdat. (Nollakohdan toistuminen tarkoittaa vain sitä, että osa näistä luvuista voi olla samoja.)

Ratkaisukaavasi toimii myös silloin kun kertoimet ovat mitä tahansa kompleksilukuja, jolloin on järjetöntä puhua luvun 'positiivisuudesta' tai 'negatiivisuudesta'. (Ongelmasi ei ehkä niinkään koskenut ratkaisukaavaa, vaan lukujen kertomisen ja lisäämisen epävarmuutta.)

Jos on lisää kysyttävää, tai joku haluaa Algebran fundamentaalisen teoreeman todistuksen (tai ainakin sen hahmotelman), voin auttaa. Tiedän useammankin hauskan todistuksen.

Laskujärjestys auttaa hahmottamaan, miten laskea isomman kaavan arvo. Luulenpa, että se oli kysyjällä hukassa.

Ensin kertolasku, sitten yhteenlasku ja lopuksi neliöjuuren ottaminen.

Jos kaavassa on sulkeita, laske sulkeiden sisällä oleva arvo ensin, perinteistä laskujärjestystä kunnioittaen.

(Huomaa, että jakolasku on kertomista käänteisluvulla, ja vähennyslasku on negaation lisäämistä. Siksi en maininnut niitä erikseen.)

Eli esim. njuuri(b^2-4ac) lasketaan näin:

1) Lasket ensin arvot b^2 ja 4ac. (ja 4ac on negatiivinen vain jos täsmälleen yksi luku parista {a,c} on negatiivinen)

2) Seuraavaksi suoritat vähennyslaskun b^2-4ac. (jos 4ac on negatiivinen, lisäät sen itseisarvon b^2:een.)

3) Otat neliöjuuren luvusta b^2-4ac, (jos se ei ole negatiivinen).

[Jos b^2-4ac on negatiivinen, vaikkapa -4, silloin njuuri(-4) olisi kompleksiluku 2i, missä i on määritelty kuten edellisessä viestissäni. Mutta koulumatikassa ei yleensä välitetä kuin reaaliratkaisuista, joita ei tässä tapauksessa olisi.]

oon lukios ja en tiiä mikä on yhtälö