Määritellään joukko {f(n) | 1 < n < m}. Intuitiivinen tulkinta määrittelylle on, että f(n) lasketaan niille alkioille n jotka jäävät välille ]1,m[, mutta onko tälle intuitiolle jokin tarkka perustelu? Nimittäin tuon notaation voi mielestäni lukea kahdella tavalla. Jos merkitään
A_m = {f(n) | 1 < n < m}
niin olisi luontevaa tulkita m "ulkopuoliseksi" parametriksi ja n juoksee kaikki arvot läpi arvoväliltään. Jos taas merkitään
A_{m,n} = {f(n) | 1 < n < m}
niin sekä m että n ovat fiksattuja kun joukkoa lähdetään kasaamaan ja jos pätee 1 < n < m, niin silloin lasketaan f(n), muuten ei (joukossa olisi siis joko 1 tai 0 alkiota).
Kummin on oikeampi tapa? Itse kallistuisin kannalle, että alkuperäisen voi tulkita kumminkin.
A_m = {f(n) | 1 < n < m}
niin olisi luontevaa tulkita m "ulkopuoliseksi" parametriksi ja n juoksee kaikki arvot läpi arvoväliltään. Jos taas merkitään
A_{m,n} = {f(n) | 1 < n < m}
niin sekä m että n ovat fiksattuja kun joukkoa lähdetään kasaamaan ja jos pätee 1 < n < m, niin silloin lasketaan f(n), muuten ei (joukossa olisi siis joko 1 tai 0 alkiota).
Kummin on oikeampi tapa? Itse kallistuisin kannalle, että alkuperäisen voi tulkita kumminkin.
Vastaukset 6
Vanhimmat
A_m = {f(n) | 1 < n < m} on oikein. Tämä voidaan myös kirjoittaa muodossa A_m = {f(2), f(3), ..., f(m-1)}. A_{m,n} = {f(n) | 1 < n < m} on myös oikein, mutta erittäin vaikeaselkoinen tapa merkitä joukkoa. Esimerkiksi
A_{3,1} = {f(1) | 1 < 1 < 3} = tyhjä joukko, sillä 1 < 1 ei ole voimassa. Toisaalta
A_{3,2} = {f(2) | 1 < 2 < 3} = {f(2)}.
Jotta voit määritellä moisen joukon, sinun on ensin määriteltävä f ,n ja m.
Jos f on vaikkapa jokin funktio {n kokonaisluku | n>2} --> {kokonaisluvut} , m=2, ja n on muuttuja, niin silloin A ei voi olla joukko.
Jos n on vakio, A on (yhden jäsenen) joukko jos ja vain jos funktio f on määritelty n:n arvolle, ja m on fiksattu.
Jotta voisit muodostaa joukon A={f(x)|1
Niin kuin edellä totesin, on luvatonta kirjoittaa f(n), jos funktio f ei ole määritelty arvolle n.
Sen sijaan voit ihan luvallisesti kirjoittaa vaikkapa
A = {f(n) | nn} = tyhjä joukko.
Idea tässä on, että vaikka lause 'n
Tietysti jos pohjamutiin mennään, niin olet aivan oikeassa. Tuo notaatio vain tuli vastaan eräässä tehtävässä ja itse tulkitsin sen "suoriltaan" niin, että m on "ulos näkyvä" muuttuja n "joukon rakentamiseen käytetty sisäinen muuttuja", mutta hetken keskustelun jälkeen tulimme tulokseen, jonka viestissäni aluksi sanoinkin, että notaatio on vajaa ja epäselvä eli tulkinnanvarainen, jonka siis vahvistitkin.
Kiitos vastauksista!
Jos tehtävässä ei anneta mitään lisätietoja, on erittäin todennäköistä, että n tarkoittaa muuttujaa ja m vakiota. Lisäksi f on mitä todennäköisimmin funktio, joka on määritelty kyseisille n arvoille.
Vaikka m olisikin muuttuja, jokainen m:n fiksaatio antaa eri joukon. Ilman fiksaatiota ei synny joukkoa.
Eli käytännössä tulkinnanvaraa EI ole -- m on pakko olla 'vakio', jotta kyseessä olisi yksittäinen joukko, eikä joukkojen kokoelma.
"m on pakko olla 'vakio', jotta kyseessä olisi yksittäinen joukko, eikä joukkojen kokoelma."
No niin, tätä juuri hain takaa. Kyseessä on ensi vuonna opiskelijoille tuupattava tehtävä (joka EI liity mitenkään joukkoon joka määritellään, vaan erääseen toiseen asiaan) ja tuohon löytyi kaksi mielestään ehdottoman oikeassa olevaa tulkitsijaa (joista toinen olin minä).
En ymmärtänyt alkuunkaan miten m voisi olla muuttuja ja hetken asioista keskusteltuamme huomasimme notaation epäselväksi.
Kiitos tuosta huomiosta, nyt osaan perustella oman kantani selvemmin.