Tarvitsisi saada varmentua muutamasta algebran perusjutusta.
(1) Jos tehtävässä ei ole määritetty mielivaltaisen ryhmän G laskutoimitusta, oletetaanko laskutoimitukseksi aina kertolasku?
Jos tehtävässä ei toisin määrätä, oletetaanko reaalilukujen ryhmä aina multiplikatiiviseksi ja kokonaislukujen additiiviseksi?
(2) Jos on määritettävä ovatko ryhmät G ja H homomorfiset/isomorfiset, mutta tehtävässä
ei ole annettu funktiota, tuleeko ratkaisussa keksiä kuvaus, joka tekee G:n alkiosta H:n alkion sekä toteuttaa homomorfiaehdon (ja on isomorfismin tapauksessa bijektiivinen) ja todeta näin ryhmien homo-/isomorfisuuden?
(3) Olk. G äärellinen ryhmä. Lauseen mukaan G:n alkioiden kertaluku jakaa G:n kertaluvun,
mutta ovatko kaikkien G:n alkioiden virittämät ryhmät G:n aliryhmiä?
Kiitos vastaajille.
(1) Jos tehtävässä ei ole määritetty mielivaltaisen ryhmän G laskutoimitusta, oletetaanko laskutoimitukseksi aina kertolasku?
Jos tehtävässä ei toisin määrätä, oletetaanko reaalilukujen ryhmä aina multiplikatiiviseksi ja kokonaislukujen additiiviseksi?
(2) Jos on määritettävä ovatko ryhmät G ja H homomorfiset/isomorfiset, mutta tehtävässä
ei ole annettu funktiota, tuleeko ratkaisussa keksiä kuvaus, joka tekee G:n alkiosta H:n alkion sekä toteuttaa homomorfiaehdon (ja on isomorfismin tapauksessa bijektiivinen) ja todeta näin ryhmien homo-/isomorfisuuden?
(3) Olk. G äärellinen ryhmä. Lauseen mukaan G:n alkioiden kertaluku jakaa G:n kertaluvun,
mutta ovatko kaikkien G:n alkioiden virittämät ryhmät G:n aliryhmiä?
Kiitos vastaajille.
Vastaukset 13
Vanhimmat
1) Yleisestä ryhmästä ei tarvi tehdä oletuksia additiivinen tai multiplikatiivinen, mutta yleensä yleisestä ryhmästä käytetään multiplikatiivisen ryhmän merkintöjä.
reelilukujen ryhmä voidaan olettaa kummaksi vain
kokonaislukujen ryhmä on additiivinen, koska se ei ole multiplikatiivinen esim. luvulla 5 ei ole käänteisalkiota Z:ssa.
2)
Ryhmistä G ja H on sitten varmaan esitetty laskusäännöt, miten ryhmien alkioiden laskutoimituksilla operoidaan. sitten pitää itse keksiä ja esitellä funktio, joka toteuttaa ehdon.
Esim.
G=(R_ ,tavallinen kertolasku) H=(R,taval.yhteenlasku)
Nämä ryhmät ovat homomorfiset, sillä funktio f:G-H, f(x)=log(x) tekee erään homomorfismin.
ja koska funktio on bijektio, niin isomorfisia peräti.
3) Jos G:n alkioiden osajoukko generoi ryhmän, niin totta kai se on silloin määritelmän mukaisesti aliryhmä.
Jos äärellisestä ryhmästä otetaan mikä tahansa alkio a, niin se generoi ryhmän. Sillä a,a^2,a^3,...,a^n,a^(n 1) eivät ole kaikki erisuuria (n on G:n koko). Siis on olemassa a^k=a^l (k>l) eli a^(k-l)=1 eli indeksillä k-l, a^(k-l)=1 ja indeksillä a^(k-l-1)=a^(-1). Muodostuu pakosta ryhmä. Ja jos ei lähdetä vain yhdestä alkiosta liikkeelle, niin sitä mukavampi.
1) Ryhmäteorian tarkoitus on yleistää käsite laskutoimituksesta (eli binäärisestä operaatiosta) joukossa G.
Operaatio voi olla mikä tahansa binäärinen operaatio, eli funktio &: G*G --> G. Yleensä merkitsemme ryhmää notaatiolla (G,&), missä & on jokin symboli, jolla merkitsemme ryhmän operaatiota. Symbolin voi valita vapaasti.
Jotta (G,&) olisi ryhmä, seuraavat ehdot tulee täyttyä:
1) G sisältää identiteetin e, jolle e&g=g&e=g mille tahansa alkiolle g.
2) Jokaiselle alkiolle g löytyy käänteisalkio h, niin että g&h=h&g=e.
3) g&(h&k)=(g&h)&k (assosiatiivisuus)
& ei suinkaan tarvitse olla perinteinen yhteenlasku, tai kertolasku.
Renkaille (mm. kentille) (R, ,*) määrittelemme kaksi binääristä operaatiota, joita kutsumme konvention vuoksi ja * symboleilla.
* eroaa tällöin operaatiosta vain siten, että R ei tarvitse olla ryhmä koko joukolla R, sillä additiivisella identiteetillä 0 ei tarvitse olla käänteisalkiota.
Symbolit voisivat sinänsä olla, mitä tahansa. Huomaa, että ja * eivät tarvitse muistuttaa perinteistä yhteen- tai kertolaskua kovinkaan paljon.
Ryhmä on määritelty (G,&), jossa & on valittu operaatio. Joten jos laskutoimitusta ei olla määritelty operaatiota, sinun ei ehkä tarvitse tietää, mikä se on, tai sitten tehtävä on puutteellinen.
Yleensä, tilan säästämiseksi, kirjoitamme vain G (emmekä (G,&) niin kuin kuuluisi). Kirjoitamme yleensä lyhenteenä gh, kun tarkoitamme g&h, tai kun emme ole valinneet tiettyä symbolia.
Reaalilukujen joukko R ei ole ryhmä kertolaskun kanssa, sillä 0:lle ei löydy käänteislukua.
2) Yleensä homomorfia, jota haetaan on varsin yksinkertainen, ja se pitää vain kirjoittaa paperille. (Ja tarkistaa että se todella on homomorfia, eli f(gh) = f(g)f(h)-- jos ollaan tarkkoja, pitäisi myöskin tarkistaa, että se on oikein-määritelty funktio.)
Isomorfian tapauksessa pitää lisäksi todistaa, että se on injektiivinen ja surjektiivinen.
(Injektiivisyys pitää jos f(x)=f(y) ==> x=y , ja funktio on oikein-määritelty jos x=y ==> f(x)=f(y). Yleensä nämä kaksi ominaisuutta voidaan todistaa yhtäaikaa käyttämällä symbolia todistuksessa.)
Joskus isomorfian löytämiseksi voi olla helpompaa käyttää isomorfia-teoreemaa:
Jos f:G-->H, on homomorfia, G/ker(f) = f(G), isomorfisesti. (Kerro jos et ymmärrä notaatiota.)
3) Kaikki ryhmät, joiden virittäjä koostuu G:n alkioista ovat tietenkin G:n aliryhmiä. Tämä johtuu siitä, että G on suljettu (koska kyseessä on binäärinen operaatio). Eli riippumatta siitä, kuinka monta kertaa toistamme operaatiota G:n alkioille, ne ovat G:n sisällä. (Ne ovat myös ryhmiä, sillä jos G on äärellinen, kunkin alkion asteluku on äärellinen, joten käänteisalkiot ja identiteetti löytyvät.)
"Renkaille (mm. kentille) (R, ,*) määrittelemme kaksi binääristä operaatiota, joita kutsumme konvention vuoksi ja * symboleilla. "
Mitä tarkoitat kentällä?
Kenttä, eli field, on vain rengas, jossa on kaikki multiplikatiiviset käänteisalkiot.
Eli tuttavallisemmin sanottuna, jakolasku on mahdollista.
Renkaan (ring) määritelmään kuuluu se, että (R, ) on Abelin ryhmä, ja (R\{0},*) olisi Abelin ryhmä, mutta käänteisalkioita saattaa puuttua. Jotta R olisi rengas, sen on lisäksi kunnioitettava osittelulakeja, eli g*(h k) = g*h g*k ja (h k)*g = h*g k*g.
Abelin ryhmä on ryhmä, jossa gh = hg (kommutatiivisuus). Joskus renkaan määritelmää lievennetään sen verran, että multiplikatiivinen kommutatiivisuus jätetään pois. Silloin kutsumme yllä kuvattua rengasta kommutatiiviseksi (tai vaihdannaiseksi) renkaaksi.
(Sori, jos jotkut termit on suomennettu väärin, sillä olen lukenut materiaalin englanniksi.)
Field on suomeksi kunta. Hieman erikoista, kun kirjoittelet suomenkielisille matikkapalstoille eikä termi ole tullut vastaan, mutta eipä tuo haittaa.
En ole kirjoitellut kovinkaan pitkään suomenkieliselle matikanpalstalle, mutta ajattelin tämän olevan hyvä tapa oppia termistöä, jos vaikka tukiopettaisin kesätyöksi.
Olen käyttänyt apuna tätä Oulun yliopiston kääntäjää: http://www.ee.oulu.fi/~topiolli/mathdict/
Se antaa field sanan suomenkieliseksi nimeksi kenttä.
Nyt mä vasta tajusin, että se kenttä viittaakin vektorikenttään, eikä algebran termiin. Tämä on juuri se ongelma kun käyttää sanakirjaa käännökseen: ei voi tietää missä merkityksessä sana esiintyy.
"G sisältää identiteetin e, jolle e&g=g&e=g mille tahansa alkiolle g"
Identiteettialkiota "e" ei tarvitse eksplisiittisesti määritellä. Keksittekö miten tämä kohta voidaan "kiertää" määritelmässä?
Miten voi määrittää käänteisalkiot, jos ei ensin määritä identiteettiä.
Jos sovimme, mitä identiteettialkio tarkoittaa, sitä ei tietenkään tarvitse laittaa ryhmän ehdoksi, mutta tällöin ehto on korvattava ehdolla : "G on epätyhjä".
Perinteisessä muodossaan, määritelmä sisältää sekä epätyhjyyden, että selityksen, mitä identiteetti tarkoittaa.
Jos sinulla on jokin eri ajatus, haluan toki kuulla sen! :)
Olisiko versiosi tällainen:
1) G on epätyhjä
2) Jokaiselle alkiolle g on olemassa h, jolle hgk=ghk=kgh=khg=k, mille tahansa alkiolle k.
3) G on assosiatiivinen.
;D
Ei ole oma oivallukseni vaan eräästä keskustelusta bongattua.
Kaikille x on olemassa sellainen y että kaikilla z pätee z = xyz = yxz = zxy = zyx.
Tämä pitää sisällään identiteetin "luonteen" ja määrittelee käänteisalkiot kuitenkin ilman sitä. (nyt en kyllä enää muista olinko edellisessä viestissäni asian suhteen epätarkka, tätä kuitenkin tarkoitin)
No tuohan on juuri se, mitä päästäni arvasin!(minun k on sinun z, jne.)
Mielestäni tämä ei tuo oikein mitään merkittäväää uutta näkökulmaa asiaan, vaan se on notaatiokysymys. Perinteinen notaatio on selkein.
Toki tämä tuo esiin sen, että identiteetti ei Ehtona ole muuta kuin 'G:n epätyhjyys', ja muu tieto auttaa tokan ehdon määritelmän lyhentämiseksi. (Ja tietysti on käyttökelpoista puhua identiteetistä monessa tilanteessa.)
"No tuohan on juuri se, mitä päästäni arvasin!"
Jep, sama juttu, mutta minulla meni viestin lähettämisen kanssa aikaa ja kerkesit väliin :)
Tämäkin varmaan kuulostaa tutulta?
(x/((((x/x)/y)/z)/(((x/x)/x)/z))) = y