Miten seuraava funktio integroidaan
kuutiojuuri(1 x^3)dx
Löytyykö sopiva sijoitus?
kuutiojuuri(1 x^3)dx
Löytyykö sopiva sijoitus?
Integraali
runer
6618
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Sijoituksella 1 x^3=sin^3(t), tuo muuttuu
integraaliksi 1/sint, joka on kirjatietona
ln( tan(t/2):n itseisarvo) C.
Tuosta sijoituksesta saadaan lisäksi yhteys
2tan(t/2)/(1 tan^2(t/2))=kuutiojuuri(1 x^3).
Tuosta toisen asteen yhtälöstä siis pitäisi
ratkaista tan(t/2), ja sijoittaa se tuohon
ln lausekkeeseen.
Mutta ei tämä näin vaikea voi olla?
Kyllä ne voivat helposti olla noin vaikeita!
Siksi meninkin puhtaaseen matikkaan... :)
...selventää, miten sijoituksesi antoi integraaliksi 1/sin(t) ?
Nimittäin dx =(sin^3(t)-1)^(-2/3)*sin^2(t)*cos(t) dt
Joten sin(t)* dx = 1/sin(t) dt ?
Itse en ainakaan ihan heti näe miten...
Ajatusvirheitä täynnä.
Toimin näin epähuomiossa.
1 x^3=sin^3(t), tuon differentiaali on
(3x^2)dx=(3sin^2(t)*cos(t))dt, josta
dx=3sin^2(t)*cos(t)dt/3x^2 ,sitten hoksasin,
että tuon 3x^2:n paikalle voi muka laittaa uudestaan
Dsin^3(t), silloin jäi "sopivasti" dx=dt.
Siitä tuli tuo integraali dt/sin(t).
Bermant-Aramanovich Mathematical Analysis kirjassa
sivu 275, on ratkaistu samantapainen tehtävä käyttäen ensin osittaisintegrointia ja sitten jotain temppua,mutta en minä siitä mitään ymmärtänyt.
Sillä se voi mennä.
Onko hypergeometriset funktiot tuttuja? Integraalin voi lausua muodossa x*hypergeom([-1/3, 1/3], [4/3], -x^3) C. Voidaan osoittaa, että integraalia ei voida laskea alkeisfunktioiden äärellisenä kombinaationa
Hypergeometriset funktiot menevät ohi kurssin, mutta mistähän niistä saisi selkoa? Google antaa aineistoa esim. Feymanin polkuintegraalien laskemisessa. Ne näyttävät liittyvän myös todennäköisyysjakaumien laskentaan.