Osoita, että reaaliluvuille a,b,c>0 pätee a^6 b^6 c^6 50abc(ab^2 bc^2 ca^2)>= 51abc(a^2b b^2c c^2a). Päteekö epäyhtälö myös jos a,b,c ovat mielivaltaisia reaalilukuja?
Epäyhtälö
epäyhtälötreenaaja
5415
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Selvyyden vuoksi a^2b b^2c c^2a=(a^2)b (b^2)c (c^2)a , ei siis a^(2b) b^(2c) c^(2a).
Ihan kuin olisin nähnyt saman tehtävän joskus aiemminkin, mutta en nyt muista enää ratkaisua...
Siinä kai käytetään symmetriaa a,b ja c:n suhteen ja ehkä liitetään epäyhtälö jotenkin arvoon (a b c)^6.
Pahalta vaikuttaa. Tätä muotoa olevat epäyhtälöt voi todistaa kirjoittamalla ne neliöiden lineaarikombinaationa, mutta en kyllä keksi mihin muotoon lauseke olisi väännettävä. Saisikohan Newtonin summilla mitään kivaa aikaiseksi? Varmaan voisi koittaa kikkailla myös ihan perinteisillä epäyhtälöillä, kuten aritmeettis-geometrisella ja Hölderillä. Lagrangen kertoimet voisi myös auttaa tehtävään. Epäyhtälö on myös homogeeninen, joten voi olettaa, että esim. a=1.
En ole vieläkään saanut tehtävää tehtyä. Paras ideani on seuraava: Epäyhtälö on homogeeninen, joten voidaan olettaa, että abc=1. Siten riittää osoittaa, että a^6 b^6 c^6 50(ab^2 bc^2 ca^2)>= 51(a^2b b^2c c^2a)
en tiiä kyl