Tässä taannoin jouduin pähkäilemään kovasti ongelman kanssa, jonka aluksi luulin olevan ihan suoraviivaisesti ratkaistavissa. Tai onhan ratkaisu suoraviivainen, mutta vaatii yllättävän paljon pyörittelyä. Ongelma tuli muuten eteen ihan "oikeissa töissä".
Annettuna on suorakulmio, jonka sivut ovat a ja b. Valitaan suorakulmiosta kaksi satunnaista pistettä x ja y. Mikä mahtaa olla odotusarvo pisteet x ja y yhdistävän segmentin pituudelle?
Nykyisin ratkaisun löytää suhtkot helposti googlettamalla, mutta toisin oli taannoin. Koettakaas itse ilman hakukoneita - paljonko saitte aikaa kulumaan?
Annettuna on suorakulmio, jonka sivut ovat a ja b. Valitaan suorakulmiosta kaksi satunnaista pistettä x ja y. Mikä mahtaa olla odotusarvo pisteet x ja y yhdistävän segmentin pituudelle?
Nykyisin ratkaisun löytää suhtkot helposti googlettamalla, mutta toisin oli taannoin. Koettakaas itse ilman hakukoneita - paljonko saitte aikaa kulumaan?
Vastaukset 7
Vanhimmat
pisteet x ja y yhdistävä segmentti?
Laitoin Maplen laskemaan integraalia 1/(ab)^2\int_0^a\int_0^b\int_0^a\int_0^b\sqrt((x-x')^2 (y-y')^2)dy'dx'dydx. 10 minuuttia mennyt, ei vastausta. Koitetaan toista lähestymistapaa.
Oletetaan, että pisteet on valittu tasaisella jakaumalla ja x,y ei ole välttämättä erit. Janan xy pituudet ovat tasaisesti jakautuneita. x ja y ei välttämättä erit, joten pienin etäisyys on 0. Suurin etäisyys saadaan lävistäjällä ja se on sqrt(a^2 b^2). xy on siis tasaisesti jakautunut välille (0,sqrt(a^2 b^2)). Siten odotusarvoksi saadaan sqrt(a^2 b^2)/2.
keksit, että
"xy on siis tasaisesti jakautunut välille (0,sqrt(a^2 b^2))"?
Noin sormituntumalla voin sanoa, että janoja, joiden pituus on lähellä nollaa, on paljon enemmän kuin janoja, joiden pituus on lähellä lävistäjän pituutta.
että todennäköisyyslaskuistani on jo kauan ja tein tehtävää hieman väsyneenä. Ei se noin taida mennäkään.
intuitiivisesti ajatellen satunnaisesti valittu pistepari (x,y) täyttää ehdon (molemmat suorakaiteen sisällä) sitä todennäköisemmin, mitä lähempänä ne ovat toisiaan. Sellaisia pistepareja, joiden etäisyys on suurempi kuin lävistäjä, ei tarvitse ottaa huomioon, ja tiheysfunktio saavuttaa arvon nolla, kun D = Dmax, eli lävistäjä.
Tiheysfunktio olisi muotoa f = 1 / (Dmax - x),
0
Integroitava funktio on
1/(ab)^2 int_0^a int_0^b sqrt(x^2 y^2)(a-x)(b-y) dx dy.
Integrandin voi kertoa auki ja integroida termeittäin. Kamalin integraali on muotoa
int y^2 ln(a sqrt(a^2 y^2)) dy, joka voidaan integroida osittain, jolloin integraali on muotoa int y^4/(a sqrt(a^2 y^2) a^2 y^2) dy, joka onnistuu Wolframin Integraattorilla. Vastaus on vieläpä alkeisfunktio.
Sijoituksella arcosh(x) = ln( x sqrt( x^2-1 ) ) tulos sievenee jonkinverran (katselin tämän paperista, jossa ratkaisu). Jos a = b = 1, niin onko odotusarvo pienempi vai suurempi kuin 0.5 ;-)?
Itse pyörittelin tuloksen fiksaamalla b=1. Mikään helppo homma ei ole myöskään erikoistapaus a = b = 1, ainakaan jos ns. sopivat sijoitukset ovat päässeet unohtumaan.
Koetin muinoin laskea ko. integraalia Mathematica -ohjelmalla ja tuloksena tuli pitkän raksutuksen jälkeen 7 sivua pitkä ratkaisu. Tätä olisi varmaan voinut sieventää, mutta koska tarvitsin ainoastaan muutaman numeerisen ratkaisun jätin homman siihen. Kynällä ja paperilla hommasta ei tullut mitään.
Googlaamalla löysin helposti paperin, jossa ratkaisu oli suhteellisen sievässä muodossa - onnistuu varmaan myös muiltakin.