Oletetaan, että N ja H ovat G:n normaaleja aliryhmiä ja N subset G. Olkoon f:G -> G/N kanoninen homomorfismi, eli f: x -> xN.. Nyt f:ssä aliryhmän H kuva on f(H) = {xN | x in H}, mutta miksi on f(H)=H/N?
Tuo tuli tekstissä vastaan enkä näe mistä se seuraa.
Tuo tuli tekstissä vastaan enkä näe mistä se seuraa.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Isomorfismi-teoreema: Jos f:G-->G' on homomorfismi, niin silloin f(G) on isomorfinen G/ker(f) kanssa.
Omassa kysymyksessäsi rajoitat funktion f määrittelyjoukolle H, jolloin funktio f|H on selvästikin ryhmien välinen homomorfismi.
Jos N on myös H:n normaali aliryhmä, silloin on helppo nähdä, että ker(f|H) = N, (sillä kyseessä on samanlainen kanoninen homomorfismi), ja tulos seuraa.
Jos N ei ole H:n normaali aliryhmä, H/N on huolimaton notaatio, joka yksinkertaisesti tarkoittaa {xN |x in H}. Notaatiota ei periaatteessa saisi käyttää, ellei N ole H:n normaalialiryhmä.
Esim. jos viittaat kolmanteen isomorfismi-teoreemaan (http://planetmath.org/encyclopedia/ThirdIsomorphismTheorem.html) , niin tuossa on käytetty väärin notaatiota K/H.
Kaikkien kolmen isomorfia-teoreeman määritelmiin ja todistuksiin pääsee samalta sivulta.
Jos G on ryhmä, N on ryhmän G normaali aliryhmä, H on ryhmän G aliryhmä (ei siis välttämättä normaali) ja f on kanoninen kuvaus ryhmälle G/N, niin
-kompleksi NH=HN (sisältää kaikki alkiot muotoa nh, missä n on N:n alkio ja h on H:n alkio) on ryhmän G aliryhmä
-joukko N on ryhmän NH normaali aliryhmä
-kuvajoukko f(H) on ryhmän G/N aliryhmä HN/N (joka on isomorfinen ryhmän H/K kanssa, missä K on joukkojen N ja H leikkaus).
Tässä ei siis tarvitse olettaa mitään aliryhmästä H. Mikäli N on ryhmän H aliryhmä, niin tällöin HN/N = H/N ja K = N, mutta muulloin tuota kuvaa f(N) pitää merkitä ryhmällä HN/N.
... kuvaa ns. tokaa ismorfismi-teoreemaa, joka löytyy todistuksineen linkittämältäni sivulta.
Kiitos molemmille. Kyse on tosiaan isomorfialauseista enkä ymmärtänyt niiden todistusta aivan täysin.