Kesäni menee opiskellessa, joten saatte varautua tyhmiin algebran kysymyksiin :)
Nyt mietityttää seuraava: Olkoon G ryhmä, E homogeeninen G-joukko ja a in E. Kuvaus g:G -> E, jossa x -> xa, on tällöin surjektiivinen.
En ymmärrä miksi tuo g on surjektiivinen. Jos olen oikein käsittänyt niin ryhmän G toiminta joukossa E voidaan nähdä kuvauksena f_a: GxE -> E, missä f_a vastaa kuvausta f(a, x) in E jossa a on kiinnitetty (siis syntyy kuvausperhe, ja oletan tietty toiminnan määritelmän vaatimukset). Onko tuo kuvaus g nyt määritelty siis g(x) = f(g,x)? Jos on, niin miksi se on surjektio?
Nyt mietityttää seuraava: Olkoon G ryhmä, E homogeeninen G-joukko ja a in E. Kuvaus g:G -> E, jossa x -> xa, on tällöin surjektiivinen.
En ymmärrä miksi tuo g on surjektiivinen. Jos olen oikein käsittänyt niin ryhmän G toiminta joukossa E voidaan nähdä kuvauksena f_a: GxE -> E, missä f_a vastaa kuvausta f(a, x) in E jossa a on kiinnitetty (siis syntyy kuvausperhe, ja oletan tietty toiminnan määritelmän vaatimukset). Onko tuo kuvaus g nyt määritelty siis g(x) = f(g,x)? Jos on, niin miksi se on surjektio?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Homogeeninen G-joukko tarkoittaa, että jokaista E:n alkioparia (x,y) kohti on olemassa t in G jolle y=tx. Nyt e on jonkin alkionsa w rata. Mutta t=wu jollain u in G.
G-joukko on kyllä tuttu, mutta millainen on homogeeninen G-joukko?
Jos ryhmän G toiminta E:lle merkitään kuvauksema f:GxE -> E, niin silloin tuo kuvaus g voidaan määritellä myös f(x,a) = g(x) kaikilla x kuuluu ryhmään G (kannattaa mieluummin käyttää muuttujana x kuin g:tä, niin ei meno alkiot ja kuvaukset sekaisin). Jotta g olisi surjektio, niin g(G) = E eli jokaisella joukon E alkiolla e on olemassa sellainen ryhmän G alkio x, että g(x) = f(x,a) = e. Nythän tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että joukko E on transitiivinen ryhmän G suhteen, mutta enempää en osaa sanoa, kun en tiedä tuota homogeenisuuden määritelmää. Eli yritä johtaa siitä homogeenisyydestä transitiivisuus.
Jos meillä on ryhmä G ja G-joukko E, niin G:n toiminta joukossa E on transitiivinen, jos E on jonkin alkionsa rata ja sanotaan, että E on homogeeninen G-joukko.
Siis joukon *toiminta* on transitiivinen, jolloin joukko, jossa toiminta tapahtuu, on homogeeninen.
Noita vastauksia pitää vähän sulatella ennen kommentointia.
Sepustan vähän pidemmästi miten olen asian sisäistänyt. Otetaan ryhmä G ja joukko E. Nyt G:n toiminta joukossa E on kuvaus f_a:GxE -> E, joka kuvaa parin (a,x) jollekin E:n alkiolle y. Erityisesti tuossa toiminnassa jokainen f_a on tuon a:n suhteen vakio, eli se voidaan esittää suoraan muodosa f_a(x), eikö? Nyt tuo kuvaus f_a toteuttaa toiminnan määritelmän, jos
1) ryhmän G identiteettialkiolla e pätee f_e(x) = x, eli f(e, x) = x
2) ryhmän G alkioilla g ja h pätee f(g, f(h, x)) = f(gh, x) (siis omassakin prujussani käytetyllä notaatiolla g.(h.x) = (gh).x, g,h in G ja x in E)
Toteamus oli "Olkoon G ryhmä, E homogeeninen G-joukko ja a in E. Kuvaus g:G -> E, jossa x -> xa, on tällöin surjektiivinen." Nyt käsitän tuon mainitun kuvauksen g kuvaavan jokaisen G:n alkion sille alkiolle, jolle f_a kuvaa g:n, eli G:n alkiolle h ja E:n alkiolle a g(h) = f_a(h), eikö?
Jos E on homogeeninen, eli G:n toiminta E:ssä on transitiivinen, niin kaikilla e,f in E on olemassa sellainen a in G, että e = f_a(f), eli e=f.a.
Jos nyt määritelty kuvaus g on surjektio, niin eikö silloin jokaisen f_a pidä myös olla surjektio? Jos pitää, niin miksi?
Eiku perkule, sehän seuraa toiminnan määritelmän kohdasta 1 :D Joo, asia selvä... kiitos kommenteista, saitte minut ajattelemaan ihan omilla aivoilla.
... miksi asiaa pitäisi miettiä näin hankalalla notaatiolla.
Kannattaa mieluummin keskittyä ymmärtämään intuitio määritelmien takana.
Helpoin tapa ajatella ryhmän toimintaa on (vasemmanpuoleinen) 'kertolasku' ryhmän G ja joukon E välillä, joka antaa tuloksi E:n alkion.
Tästä ei voi syntyä sekaannusta, kunhan tekee selväksi, mihin joukkoon kukin muuttuja kuuluu.
Vaihtoehtoisesti, toiminta on funktio f:G*E-->E.
[En tiedä mitä hyötyä on tässä kirjoittaa gx=f(g,x) =f_g (x), ja miettiä toimintaa funktioperheenä?! Tätä ei kannata tehdä, ellei siitä ole jotakin erityistä hyötyä. (f_g siis kuvaa vasemmanpuoleista kertolaskua g:llä.)
f on käsittääkseni ihan kunnollinen funktio hajottamatta sitä osiin. ]
Transitiivinen toiminta on sellainen, että mistä tahansa E:n alkiosta pääsee mihin tahansa muuhun E:n alkioon, 'kertomalla' jollakin G:n jäsenellä.
Transitiivinen f antaa tietenkin surjektion f|G*{a}, (mille tahansa E:n alkiolle a). Tämä seuraa välittömästi edellisen kappaleen määritelmästä.
Kuvaus [h: G-->E, g |---> ga] on yksinkertaisesti kompositio [G--->G*{a}--->E, g |---> (g,a) |---> ga = f(ga)].
Olemme jo nähneet, että G*{a}--->E on surjektio. Sen sijaan g |---> (g,a) itsestäänselvä bijektio. Siispä h on surjektio.