Yleensä jos A ja B ovat joukkoja, niin kaikkien funktioiden A:lta B:lle joukkoa merkitään B^A. Laskuharjoitustehtävässä on osana pitää todistaa, että X^(gHg^(-1))=g(X)^H, missä G on ryhmä, X on G-joukko ja H on G:n aliryhmä, sekä g in G.
Mitä tuo "X^(gHg^(-1))=g(X)^H" tarkoittaa niiq suomeksi? Onko osoitettava, että kaikkien funktioiden joukosta gHg^(-1) joukkoon X joukko on sama kuin kaikkien funktioiden joukosta H joukkoon X joukko, jossa funktion arvo on kerrottu g:llä?
Mitä tuo "X^(gHg^(-1))=g(X)^H" tarkoittaa niiq suomeksi? Onko osoitettava, että kaikkien funktioiden joukosta gHg^(-1) joukkoon X joukko on sama kuin kaikkien funktioiden joukosta H joukkoon X joukko, jossa funktion arvo on kerrottu g:llä?
Vastaukset 5
Vanhimmat
"Yleensä jos A ja B ovat joukkoja, niin kaikkien funktioiden A:lta B:lle joukkoa merkitään B^A. Laskuharjoitustehtävässä on osana pitää todistaa, että X^(gHg^(-1))=g(X)^H, missä G on ryhmä, X on G-joukko ja H on G:n aliryhmä, sekä g in G.
Mitä tuo "X^(gHg^(-1))=g(X)^H" tarkoittaa niiq suomeksi? Onko osoitettava, että kaikkien funktioiden joukosta gHg^(-1) joukkoon X joukko on sama kuin kaikkien funktioiden joukosta H joukkoon X joukko, jossa funktion arvo on kerrottu g:llä?"
Suomeksi se on mitä sanookin. Vasen puoli meni oikein, mutta joukko B = g(X) on se X:n osajoukko, jonka alkiot ovat muotoa gx (sen oletuksissa annetun toiminnon suhteen). Joukko g(X)^H kostuu siis kaikista funktioista joukolta H joukolle B.
Kirjoitin "X^(gHg^(-1))=g(X)^H", johon "joukko B = g(X) on se X:n osajoukko, jonka alkiot ovat muotoa gx". Noita sulkeita ei tehtävänannossa ollut vaan lisäsin ne selkeyden vuoksi, mutta joo, niin se varmaan on kuten sanot.
Kiitos, nyt hyökkään tehtävän kimppuun kun tiedän mitä vastaukseksi halutaan!
Jotta funktiot olisivat samat, niin niiden lähtö- ja maalijoukot täytyvät olla samat. Nyt vasemman puolen joukon alkiot ovat funktioita H^g -> X ja oikealla puolella taasen funktioita H -> g(X).
Jotta molemmalla puolella funktiolla olisi samat lähtö- ja maalijoukot, niin täytyisi siis päteä H^g = H (eli H on normaali G:ssä) ja g(X) = X. Että joku tuossa nyt mättää...
Liittyykö X on G-joukko tähän kohtaan, josta pääsisi joukkojen samuuteen. "Group Actions" on algebrassa mielestäni ikävää pyöriteltävää kun joutuu aidosti hieman "pyörittelemään" asioita mielessään, jotta hahmottaisi homman oikein.
X on G-joukko, jos gX = X kaikille G:n alkioille g. (Tässä on kyse G:n toiminnasta joukolle X.)
Siispä meidän tarvitsee murehtia pelkästä määrittelyjoukosta.
Vaikka H = gHg^(-1) vain normaaleille aliryhmille H, se ei tarkoita ettäkö tehtävä olisi 'väärin'.
Nimittäin voimme osoittaa (aika helposti), että gHg^(-1) on joukkona isomorfinen H:n kanssa. Lisäksi h |--> ghg^(-1) on kelpaa isomorfismiksi.
Tehtävä tietysti tarkoittaa yhtäläisyyttä tähän isomorfisuuteen asti.
Eli, jos meillä on funktio f:H-->X, niin meillä on 'vastaava' funktio f':gHg^(-1)-->X, kunhan määrittelemme f'(ghg^(-1)) = f(h).
f=f', kunhan identifioimme f-funktion h-alkion sekä f'-funktion ghg^(-1) -alkion.
Kaikilla olennaisilla tavoilla ryhmät H ja gHg^(-1) ovat 'sama' ryhmä, mutta merkitsemme ehkä eri alkioita eri tavalla.
Eli sanoisinpa, että tehtävä todellisuudessa pyytää sinua vain todistamaan tämä isomorfisuus. Se tarkistaa myös samalla, että ymmärrät termin 'G-joukko'.
Syy siihen, että tehtävä on annettu tuossa nimenomaisessa muodossa on luultavasti se, että siitä jatkokysymyksissä jotain hyötyä.