Onko R^2:ssa olemassa sellaista äärellistä pistejoukkoa A={x_1,x_2,...,x_n}, että janan x_ix_j keskinormaalilla on aina jokin A:n piste x_k?
Tason äärellinen osajoukko
ei keksi
6402
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Jos valitset joukoksi A tasasivuisen kolmion kärkipisteet, niin se täyttää kyseisen ehdon.
Yleisempi tapaus n pisteelle on sitten vaikeampi. Toimisiko siten, että valitaan ympyrän keskipiste ja n-1 pistettä ympyrän kehältä tasaisin välein. En jaksa tarkastaa, mietipä sitä.
Mikä tahansa pariton pistemäärä ympyrän kehällä tasaisin välein toteuttanee tuon avauksen ehdon.
Tuolloin minkä tahansa janan x_i x_j väliltä löytyy kehältä (jommalta kummalta puolelta) pariton määrä pisteitä tasaisin välein, ja näistä keskimmäinen on janan x_i x_j keskinormaalilla.
Sen sijaan tuon keskipisteen mukaanotto ei taida toimia.
Kirjoitin jotain muuta kuin ajattelin. Kolme pistettä, jotka ovat tasasivuisen kolmion kärjet, toteuttavat ehdon. Yritetääs uudelleen:
Onko R^2:ssa olemassa sellaista äärellistä pistejoukkoa A={x_1,x_2,...,x_n}, että janan x_ix_j keskinormaalilla on aina tasan kaksi A:n pistettä x_k ja x_l?
Äärellisiä joukkoja A={x_1,x_2,...,x_n}, joissa janan x_ix_j keskinormaalilla on aina tasan yksi piste x_k on ääretön määrä. Kaikki sellaiset pistejoukot, jotka sijouttuvat ympyrän kehälle tasavälein ja joissa pisteitä on pariton määrä (alkaen kolmesta pisteestä), täyttävät tuon ehdon.
Myöskin sellaisia joukkoja, missä tasan kaksi pistettä x_k ja x_l osuvat janan xi_x_j jollekin normaalille on ääretön määrä. Lisäämällä edellisen tapauksen niihin joukkoihin, joissa pisteitä on 5 tai enemmän, kyseisen ympyrän keskipiste, täyttyy tämä ehto aina. Tuolloin uusina janoina tulevat mukaan keskipisteestä kuhunkin kehällä olevaan pisteeseen vedettävät janat ja jollain niiden normaaleista on aina kaksi kehän pistettä.
Tapauksia, missä tasan kaksi pistettä x_k ja x_l osuisivat janan x_ix_j keskinormaalille ei ilmeisesti ole. En osaa todistaa, että näin todella on, mutta esitän seuraavat perustelut:
Pistejoukon tulisi mitä ilmeisimmin olla symmetrinen, jotta kaikkien mahdollisten janojen normaaleille osuisi pisteitä samalla lailla.
Pelkällä ympyrän kehällä tasavälein sijaitsevien pisteiden muodostamien janojen keskinormaaleille osuu aina joko tasan yksi piste (kun pisteitä on pariton määrä) tai janasta riippuen nolla tai kaksi pistettä (kun pisteitä on parillinen määrä).
Em. vaihtoehtoon voisi symmetrian säilyttäen lisätä joko keskipisteen tai toisen kehän, jolla pisteitä on sama määrä.
Keskipiste kehä:
Ei toimi, koska ainoa tapaus missä keskipisteen ja kehällä olevan pisteen keskinormaalille osuisi kaksi pistettä on se, missä kehällä on kuusi pistettä. Mutta keskipisteen ja kuuden kehäpisteen tapauksessa muiden janojen normaaleille osuisi (kehän parillisesta pistemäärästä johtuen) 1 tai 3 pistettä (yksi, eli tuo keskipiste, enemmän kuin kuudella kehällä olevalla pisteellä).
Kaksi kehää, joilla sama määrä pisteitä:
Ulomman kehän pisteen ja sitä lähimmän sisemmän kehän pisteen välisen janan keskinormaalille ei voi koskaan osua enempää kuin yksi sisemmällä kehällä oleva piste.
Sama perustelu mielestäni pätee myös tapaukseen, missä kehiä on n kappaletta tai kehien lisäksi on valittuna keskipiste.
Sitten on tietenkin tapaukset, joissa eri kehillä on eri määrät pisteitä, mutten jaksa uskoa, että niistä löytyy ratkaisua. Myöskään epäsymmetrisistä pistejoukouista tuskin ratkaisua löytyy.
Jos tiedät ratkaisun, kerro ihmeessä. Olen utelias.
Pallon pinnalla homma onnistuisi ainakin valitsemalla neljä pistettä, jotka muodostavat tetraedrin pallon sisälle. Muitakin ratkaisuja saattaa olla, mutten jaksa tähän aikaan yöstä miettiä asiaa.
Tuli mieleen tällainen idea. Olkoon nimimaalisessa konfiguraatiossa n pistettä. Tällöin keskinomaaleja on O(n^2) kappaletta. Kullakin normaalilla on kaksi pistettä, joten tulee olla O(n)=O(n^2). Siten n:n on oltava melko pieni.
O tarkoittaa käpistelystä tuttua asymptoottista merkintää. En jaksa miettiä tällä erää enempää yksityiskohtia.