Kysymys jakolaskusta

Kuten otsikko sanoo, kiitos vastauksesta.

Jos reaaliluvut annetaan aksiomaattisesti, niin nuo merkkisäännöt seuraavat ns. algebrallisen kunnan ominaisuuksista, jotka on lueteltu
täällä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Kunta_(matematiikka)

Järjestysrelaatiota < ei siis tässä tarvita.

Pelkästään näillä aksioomilla nähdään, että kaikilla reaaliluvuilla a

1. a*0 = 0, koska

a*0 = a*(a (-a))= a*a (-(a*a)) = 0

( -(a*a) on a*a:n ns. vasta-alkio)

ja näin saadaan käyttäen lyhennysmerkintää x-z:=x (-z)

2. (-2)*(-2) -(2*2) = -2*(-2 2) = -2*(0) = 0.

Saatiin, että -(2*2) on (-2)*(-2):n vasta-alkio, joka on puolestaan yksikäsitteinen ts.
Jos a-b = a-c = 0, niin b = c.

Summa summarum, koska (-2)*(-2) -(2*2) = 0,

on (-2)*(-2) = 2*2 = 4.

--------------------------
Tuo yksikäsitteisyysasia on myös helppo todistaa: Jos a-b = 0 ja a-c=0, niin

a-b b= 0 b eli a=b ja samoin a=c.

Merkki. kirjoitti:

Jos reaaliluvut annetaan aksiomaattisesti, niin nuo merkkisäännöt seuraavat ns. algebrallisen kunnan ominaisuuksista, jotka on lueteltu
täällä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Kunta_(matematiikka)

Järjestysrelaatiota < ei siis tässä tarvita.

Pelkästään näillä aksioomilla nähdään, että kaikilla reaaliluvuilla a

1. a*0 = 0, koska

a*0 = a*(a (-a))= a*a (-(a*a)) = 0

( -(a*a) on a*a:n ns. vasta-alkio)

ja näin saadaan käyttäen lyhennysmerkintää x-z:=x (-z)

2. (-2)*(-2) -(2*2) = -2*(-2 2) = -2*(0) = 0.

Saatiin, että -(2*2) on (-2)*(-2):n vasta-alkio, joka on puolestaan yksikäsitteinen ts.
Jos a-b = a-c = 0, niin b = c.

Summa summarum, koska (-2)*(-2) -(2*2) = 0,

on (-2)*(-2) = 2*2 = 4.

--------------------------
Tuo yksikäsitteisyysasia on myös helppo todistaa: Jos a-b = 0 ja a-c=0, niin

a-b b= 0 b eli a=b ja samoin a=c.

Jakolaskun merkkisäännöt seuraavat alla olevasta ja edellisestä viestistäni.

Olkoot x ja y tarvittaessa nollasta eroavia reaalilukuja. Koska x/y := x*(y^(-1)), missä y^(-1) on y:n käänteisalkio (esim. 3/2 = 3*2^(-1)=3*(1/2)) ja lisäksi
(x*y)^(-1) = x^(-1)*y^(-1) (X) saadaan merkkisäännöt kertolaskun merkkisäännöistä.

(X):n todistus:

Määritelmän mukaan (x*y)^(-1)*(x*y)=1 ja
siis kertomalla puolittain luvulla x^(-1)*y^(-1)
saadaan
(x*y)^(-1)*(x*y)*x^(-1)*y^(-1)=1*x^(-1)*y^(-1)
ja tästä helposti aksioomia käyttämällä
(x*y)^(-1) = x^(-1)*y^(-1).

Esimerkiksi -5/(-4) = -5*((-1)*4)^(-1) =
-5*(-1)^(-1)*4^(-1)=[-5*(-1)]*4^(-1) = 5*4^(-1)=5/4. Huom. (-1)^(-1) = 1, koska (-1)*(-1) = 1 ja käänteisalkio on yksikäsitteinen.

Merkki. kirjoitti:

Jakolaskun merkkisäännöt seuraavat alla olevasta ja edellisestä viestistäni.

Olkoot x ja y tarvittaessa nollasta eroavia reaalilukuja. Koska x/y := x*(y^(-1)), missä y^(-1) on y:n käänteisalkio (esim. 3/2 = 3*2^(-1)=3*(1/2)) ja lisäksi
(x*y)^(-1) = x^(-1)*y^(-1) (X) saadaan merkkisäännöt kertolaskun merkkisäännöistä.

(X):n todistus:

Määritelmän mukaan (x*y)^(-1)*(x*y)=1 ja
siis kertomalla puolittain luvulla x^(-1)*y^(-1)
saadaan
(x*y)^(-1)*(x*y)*x^(-1)*y^(-1)=1*x^(-1)*y^(-1)
ja tästä helposti aksioomia käyttämällä
(x*y)^(-1) = x^(-1)*y^(-1).

Esimerkiksi -5/(-4) = -5*((-1)*4)^(-1) =
-5*(-1)^(-1)*4^(-1)=[-5*(-1)]*4^(-1) = 5*4^(-1)=5/4. Huom. (-1)^(-1) = 1, koska (-1)*(-1) = 1 ja käänteisalkio on yksikäsitteinen.

Huom. (-1)^(-1) = -1.