[Pidän lupaukseni ja jatkan algebran itseopiskelua :)]
Jos meillä on perhe (E_i) A-moduleita (jollain indeksijoukolla I) ja muodostetaan näistä tulomoduuli Prod((E_i)) (karteesinen tulo) ja määritellään siinä laskutoimitus
(x_i) (y_i) = (x_i y_i)
ja (skalaari)kertolasku (eli käsittääkseni renkaan A toiminta)
l.(x_i) = (l.x_i), l in A
niin Prod((E_i)) muodostaa A-moduulin.
Lemma: Jos F on A-moduli ja f_i:F -> E_i A-homomorfismi (A-lineaarinen) kaikilla i in I, niin on olemassa yksikäsitteinen lineearikuvaus f:F -> E, joka toteuttaa ehdot
f_i = pr_i o f (i in I).
(Tuossa siis o on funktioiden yhdistäminen ja pr_i on kuvaus E -> E_i, eli projektio.)
Todistus alkaa "Olkoon f:F->E kuvaus, joka täyttää vaaditut ehdot. Jos x in F ja f(x) = y = (y_i) in E, niin kaikilla i in I f_i(x) = pr_i(f(x)) = y_i.
Kuvaus f on siis yksikäsittinen ja saadaan kaavasta f(x) = (f_i(x)) x in F. Toisaalta tämä kuvaus on A-lineaarinen aina, kun jokainen f_i on A-lineaarinen (HT)."
Tuossa on siis todistettu, että jos kyseinen f on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Toisaalta siinä on sanottu, että kyseinen f on olemassa, koska se voidaan konstruoida annetulla tavalla.
Minä en kuitenkaan ymmärrä miten F voi olla "tarpeeksi iso", eli jos jokaisella E_i on |E_i| = k ja indeksiperheen koko on n, niin |Prod(E_i)| = k^n. Nyt kuvausten f_i olemassaololle riittää, että |F| = |E_i| = k, mutta jotta voitaisiin luoda surjektio F:ltä E:lle, niin on oltava |F| >= k^n.
Onko nyt niin, että f:n ei tarvitse olla surjektio vai olenko ymmärtänyt jotain muuta väärin?
Jos meillä on perhe (E_i) A-moduleita (jollain indeksijoukolla I) ja muodostetaan näistä tulomoduuli Prod((E_i)) (karteesinen tulo) ja määritellään siinä laskutoimitus
(x_i) (y_i) = (x_i y_i)
ja (skalaari)kertolasku (eli käsittääkseni renkaan A toiminta)
l.(x_i) = (l.x_i), l in A
niin Prod((E_i)) muodostaa A-moduulin.
Lemma: Jos F on A-moduli ja f_i:F -> E_i A-homomorfismi (A-lineaarinen) kaikilla i in I, niin on olemassa yksikäsitteinen lineearikuvaus f:F -> E, joka toteuttaa ehdot
f_i = pr_i o f (i in I).
(Tuossa siis o on funktioiden yhdistäminen ja pr_i on kuvaus E -> E_i, eli projektio.)
Todistus alkaa "Olkoon f:F->E kuvaus, joka täyttää vaaditut ehdot. Jos x in F ja f(x) = y = (y_i) in E, niin kaikilla i in I f_i(x) = pr_i(f(x)) = y_i.
Kuvaus f on siis yksikäsittinen ja saadaan kaavasta f(x) = (f_i(x)) x in F. Toisaalta tämä kuvaus on A-lineaarinen aina, kun jokainen f_i on A-lineaarinen (HT)."
Tuossa on siis todistettu, että jos kyseinen f on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Toisaalta siinä on sanottu, että kyseinen f on olemassa, koska se voidaan konstruoida annetulla tavalla.
Minä en kuitenkaan ymmärrä miten F voi olla "tarpeeksi iso", eli jos jokaisella E_i on |E_i| = k ja indeksiperheen koko on n, niin |Prod(E_i)| = k^n. Nyt kuvausten f_i olemassaololle riittää, että |F| = |E_i| = k, mutta jotta voitaisiin luoda surjektio F:ltä E:lle, niin on oltava |F| >= k^n.
Onko nyt niin, että f:n ei tarvitse olla surjektio vai olenko ymmärtänyt jotain muuta väärin?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Olkoon jokainen f_i vakiofunktio, joka lähettää kaikki alkiot E_i:n nollaan (additiiviseen identiteettiin). Nämä ovat tietenkin A-homomorfismeja.
Tällöin f on myös triviaali vakiofunktio, joka lähettää kaikki alkiot E:n nollaan.
f ei ole tällöin surjektio (elleivät kaikki E_i:t ole triviaaleja).
Jos meillä on f_i = pr_i o f ja f ei ole surjektio, niin pr_i ei ole määritelty jokaisessa E:n pisteessä.
Tässä taitaa nyt tulla joku aukko aiemmassa tietämyksessä vastaan. Jos meillä on funktiot f: A -> B, g: B -> C ja h(x) = (g o a)(x) = g(f(x)), niin jos g ei ole niin.. niin, joo...eikun hetkinen.
Vetäydyn hetkeksi vihkoni pariin. Taisi tulla hauska virhe päättelyssäni.
pr_i on tottakai määritelty jokaisessa E:n pisteessä. Esim. jos I = pos. kokonaisluvut, silloin pr_1( (a,b,c,d,...) )= a.
Se on oikein määritetty, sillä
(a,b,c,...) = (a*,b*,...) ==> a = a*
Jos sinulla on funktiot f:A-->B ja g:B-->C, voit muodostaa komposition gf:A-->C vaikka f ei olisikaan surjektio.
g on määritelty jokaisessa B:n pisteessä, ja gf on määritelty jokaisessa A:n pisteessä.
... tulee siitä, että ajattelit määritellä g:n sen perusteella, mitä gf on? Tämä on mahdotonta, sillä g:n määrittelyjoukko voi ihan vapaasti olla isompi kuin f:n kuva.
Jotta voisimme puhua kompositiosta gf, meidän on jo tiedettävä mitä funktiot f ja g ovat. Silloin ne on jo määritelty oikein.
Ainoa rajoitus on, että g:n on oltava määritelty f:n kuvalla.
Joo, tietenkin näin. Tuokin selvisi kun jaksoin vielä kertaalleen käydä läpi logiikan - jotenkin tulin ajatelleeksi sen aivan päin honkia aluksi.
Kiitos avusta!
Kohta pukkaan toisenkin kysymyksen ellen rupea keksimään mistä on kyse :)