Tälläinen tehtävä tuli netissä vastaan, oikeastaan osoitteessa:
http://solmu.math.helsinki.fi/1998/2/malaty.html
Siis tuo 3-kohta:
"Todista, että lauseke 11^11 12^12 13^13 on jaollinen luvulla 10."
En vaan millään keksi miten sen voisi ratkaista, ehkä jotenkin kongruensseillä. Koitin esim 11=1 (mod 10), 12=-8 (mod 10) jne. mutta eipä se oikein lähteny.
Jossain (netissä?) olisi varmaan tarpeeksi järeä laskinkin, jolla ton ihan laskisikin (allekkain ei oikein jaksa ruveta ;)). Mut haluisin myös tietää sen "matemaattisemman" keinon :)...
http://solmu.math.helsinki.fi/1998/2/malaty.html
Siis tuo 3-kohta:
"Todista, että lauseke 11^11 12^12 13^13 on jaollinen luvulla 10."
En vaan millään keksi miten sen voisi ratkaista, ehkä jotenkin kongruensseillä. Koitin esim 11=1 (mod 10), 12=-8 (mod 10) jne. mutta eipä se oikein lähteny.
Jossain (netissä?) olisi varmaan tarpeeksi järeä laskinkin, jolla ton ihan laskisikin (allekkain ei oikein jaksa ruveta ;)). Mut haluisin myös tietää sen "matemaattisemman" keinon :)...
Vastaukset 9
Vanhimmat
11=1 mod 10, 12=2 mod 10 ja 13=3 mod 10.
Siispä haemme 1 2^12 3^13 mod 10. (Käytämme tässä modulaariaritmetiikan perussääntöjä, jotka kaikki on helppo todistaa.)
Jos suostut käyttämään laskinta, saat suoraan 1598420 = 0 mod 10.
Jos et halua käyttää laskinta:
2^12 = (2^6)^2 = 4^2 = 6 mod 10.
3^13 = 3 * (3^3)^4 = 3*7^4 = 3*(7^2)^2 = 3*(-1)^2 = 3 mod 10.
Siispä 1^11 2^12 13^13 = 1 6 3 = 0 mod 10.
Kiitti! Sehän olikin helppo.
Jos a=b (mod n), niin a^m=b^m (mod n)
Ja sitten keskenään kongruentit voidaan summata myös yhteen ja kongruenssi säilyy, mitenkäs nuo säännöt pääsee aina unohtumaan... ;)
"Jossain (netissä?) olisi varmaan tarpeeksi järeä laskinkin, jolla ton ihan laskisikin (allekkain ei oikein jaksa ruveta ;))."
Monia löytyy. Itse käytän aika paljon Maplea, johon pääsen käsiksi yliopiston kautta. Ilmaisiakin vaihtoehtoja on monia. Kotikoneelleni olen ladannut SAGE:n, http://modular.math.washington.edu/sage/ , jolla kyseinen tehtävä sujuu näin:
sage: mod(11^11 12^12 13^13,10)
0
SAGE on kyllä todella raskas pelkästään noin yksinkertaisiin matikan tehtäviin, mutta itse lasken sillä välillä korkeampaa matikkaa. Suosittelen kyllä opettelemaan matikkaa mahdollisimman paljon ilman konetta jos haluaa oppia puhdasta matikkaa.
You can give it to a child of age 10 or 11. When you multiply 11 by 11 the number you get must start with 1 (i.e. in the place of ones) , and therefore the value of 11^11 is a number starting with 1. When you multiply 12 by 12 you get a number starts with 4 and therefore 12 by 12 by 12 by 12 must start with 6, and therefore 12^12 value is a number starting with 6. Finally when you multiply 3 by 3 by 3 by 3 is a number starts with 1 and therefore 13^13 starts with 1 and 13^13 starts with 3. Thus the sum we need to find is starting with 1 6 3 and this is a number starting with 0, and therefore it is divisible by 10. Note! It is common to think that our writing of numbers starting from the left and this is not true look at http://www.docstoc.com/docs/30643673/Auttaako-nollan-ymmärtäminen-opettaa-matematiikkaa-paremmin-Siirtyykö-pilkku-todella-oikealle-Matematiikan-ymmärtäminen-ja-effektiiviset-opetusstrategiat-George-Malaty
Korjaus:
and therefore 13^13 starts with 1 and 13^13 starts with 3 tämä pitäisi olla and therefore 13^12 starts with 1 and 13^13 starts with 3.
PS: Nopeasti krjoitin, sorry!
Tai sit vois hakee Windowsin Laskimen ja laskea. Onnistuisi varmaan aika nopeasti. Nyt tähän tehtävään on kulunut noin viisi vuotta.
Eikös sen voi todistaa myös huomaamalla, että 11^11 12^12 13^13=0 mod 2 ja 11^11 12^12 13^13=1 2^12 3^13=1 4^6 3*9^6=1 1 3=0 mod 5, jolloin väite seuraa kiinalaisesta jäännöslauseesta?
The idea is very simple. To get a number divisible by 10, it must be a multiple of 10's. This means that in the place of ones you must have nothing, i.e. Zero. This problem was offered to children of Grade 5 at the Mathematical Clubs of the Normal School of Joensuu. Upon understanding of this fact, two students out of 12 were able to solve the problem. Using of modulars is indeed possible, but this decrease the meaning of the problem and its goal in developing children thinking, upon understanding of mathematics. With the lack of knowledge of higher mathematics mathematical problems get more meaning in the development of mathematical thinking. One thing more to notice this problem can be changed to other one more challenging to calculators for instance expression 11^157893716 12^12 13^13 is still divisible by 10. Sure; why?
Hello All, By chance I noticed that my problem was of interest of you and I found myself involving in taking part too. My English is not very good, but it is easier to me. I hope that you accept my using of English. Three things I would like to underline in my answer. The first is our common mistake in speaking about the first digit in a numeral of a Natural number, this has to be the digit of ones, i.e. looking to the numeral from the right to the left and not the opposite as we normally think. The second is that where it is common to read 2*3 as two times 3, which means 3 3, and this has its own positive sides, in some countries we read it as 2 multiplied by 3 and this means 2 2 2, and this also has its positive sides. The third thing, and the most important, is that mathematics is not a way of getting answers, but a WAY OF THINKING to solve problems and build structures.