Olkoon A rengas ja S jokin sen osajoukko. Merkitään A[S^-1] A:n laajennosta renkaaksi, jossa kaikilla S:n alkioilla on multiplikatiivinen käänteisalkio.
Nyt kanoninen homomorfismi e: A -> A[S^-1] on injektiivinen vai jos jokainen s in S on säännöllinen, eli kaikilla x in A pätee
sx = 0 -> x=0.
Tämä on ohitettu materiaalissani huomautuksella. Miten tuon voisi todistaa, tai miten saisin hieman intuitiotani tukemaan väitettä? En saanut suoraan paperilla oikein kiinni tuosta.
Nyt kanoninen homomorfismi e: A -> A[S^-1] on injektiivinen vai jos jokainen s in S on säännöllinen, eli kaikilla x in A pätee
sx = 0 -> x=0.
Tämä on ohitettu materiaalissani huomautuksella. Miten tuon voisi todistaa, tai miten saisin hieman intuitiotani tukemaan väitettä? En saanut suoraan paperilla oikein kiinni tuosta.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Eikös rengaslaajennuksen indusoi injektiivinen rengashomomorfismi. Mielestäni rengasaksioomat rikkoutuu jos kuvaus ei ole injektiivinen. Siitä on kyllä jo pari vuotta kun näitä pyörittelin.
Jos as/s = 0 = 0/s, on as*s = 0*s = 0, joten a*s^2 = 0. Koska as = 0, on a = 0 kun a in A ja s in S. Tällöin ehdosta a*s^2 = 0 seuraa a = 0, sillä s^2 in S, sillä S on kertolaskun suhteen suljettu. Siten kanoninen projektio on bijektio.
S:n pitää ilmeisesti siis olla multiplikatiivisesti suljettu joukko ilman nollaa, jolloin AS^(-1) on A:n lokalisaatio S:ssä. En tiedä miten väitteen todistaisi ilman tuota oletusta.