Olen tässä yksikseni harjoitellut derivaattaa, mutta surkeassa oppikirjassa esimerkit ovat vähän vähissä. Jäin sitten miettimään tällaista ihan perustehtävää "derivoi funktio x(x-5)^5 "
Mitä sääntöjä tuossa sovelletaan? Derivoin itse tällaiseksi --> 5x(x-5)^4 ja vastaus oli aivan jotain muuta...
Mitä sääntöjä tuossa sovelletaan? Derivoin itse tällaiseksi --> 5x(x-5)^4 ja vastaus oli aivan jotain muuta...
Vastaukset 7
Vanhimmat
Onkohan siinä sinun kirjassa tuota otsikon mukaista kaava? Se kuuluu:
D(f(x) g(x)) = f(x)' g(x) g(x)' f(x)
Tuon potenssifunktionhan näytätkin derivoineen ihan oikein. (Kun sisäfunktion x-5 derivaatta on 1) Noinhan se menisi ilman sitä x-kerrointa siinä edessä.
Tuo kaava löytyi ja nyt löysin samantyyppisen esimerkinkin, mutta yhtä kohtaa en siinä tajua:
D7x(5x-6)^3
= (D7x)*(5x-6)^3 (D(5x-6)^3)*7x | Tämän tajuan nyt
= 7(5x-6)^3 3(5x-6)^2 *5*7x
= 7(5x-6)^2(5x-6 15x) | Tässä kohtaan en ymmärrä; miten edellisestä vaiheesta voidaan tehdä tällainen kertolasku?
Eli meneekö se alkuperäinen tehtävä nyt tuohon asti:
D(x(x-5)^5)
= (x-5)^5 5(x-5)^4 * 1 * x
= ?
siinä on otettu yhteiseksi tekijäksi
7(5x-6)^2
eli
7(5x-6)^2*((5x-6) (3*5*x))
sinunkin pitäisi ottaa nyt vastaavasti yhteiseksi tekijäksi
(x-5)^4
"7(5x-6)^3 3(5x-6)^2 *5*7x
= 7(5x-6)^2(5x-6 15x) | Tässä kohtaan en ymmärrä; miten edellisestä vaiheesta voidaan tehdä tällainen kertolasku?"
7(5x-6)^3 3(5x-6)^2 *5*7x |Otetaan 7(5x-6)^2 yhteiseksi tekijäksi, saadaan:
=7(5x-6)^2(5x-6 3*5x)
=7(5x-6)^2(20x-6)
Jos sen taas haluaa kertoa auki, niin saadaan 2750x^3-6750x^2 4320x-216.
Tämä on mielestäni parempikin muoto kuin tuo tulomuodossa oleva, joskin hieman työläämpi tuottaa ;). Ellei sitten siitä, että se sattuu olemaan tuollaisissa tekijöissä, ole jotain erikoista hyötyä.
"Eli meneekö se alkuperäinen tehtävä nyt tuohon asti:
D(x(x-5)^5)
= (x-5)^5 5(x-5)^4 * 1 * x
= ?"
Joo, menee.
Sen voi kertoa auki, mikä alkaa olla jo melko työlästä noin suurilla potensseilla. Jos haluaa tehdä samalla tavalla kuin tuossa esimerkissä, niin voi ottaa (x-5)^4 yhteiseksi tekijäksi.
Kyllä sen minusta voi jäättää ihan tuollaiseenkin muotoon :).
Se jättääkö derivaatan tulomuotoon vai kertooko auki, on toki makuasia. Kannattaa miettiä, mihin sitä derivaattaa aikoo käytää. Ääriarvotehtävissä joutuu usein laskemaan derivaatan nollakohtia, jotka monesti ratkeavat helpommin tulomuodosta.
Kiitoksia kaikille, nyt älysin tuollaisenkin derivoimisen kokonaan.
Vaikka ei tässä suoraan sanottuna ole se lahjakkain henkilö matematiikassa, niin kyllä kirjakin oli aika surkea... ei mitään kunnon esimerkkejä. Lopuksi kavoin esiin yhdistetyn funktion kohdan, eikä sieltäkään löytynyt muuta kuin liian vaikeasti merkitty kaava derivoimiseen.
Merkitään apufunktioita f(x)=x, g(x)=x-5 ja h(x)=[g(x)]^5.
Nyt tehtävässä annettu x:n funktio on
x*(x-5)^5 = f(x)*h(x), josta saadaan tulon derivointikaavan avulla
f'(x)*h(x) f(x)*h'(x) (*)
Toisaalta yhdistettu funktio h(x)=i(g(x)) on saatu funktioista i(x)=x^5 ja g(x)=x-5. Siispä yhdistetyn funktion derivointikaavan nojalla
h'(x)=i'(g(x))*g'(x)=5*(g(x))^4*1 = 5*(x-5)^4
Lisäksi f'(x)=1. Sijoittamalla yllä olevaan derivaattaan (*) derivaatat f'(x) ja h'(x) saat vastauksen.