Mitä jos neliöjuuren alle tulee negatiivinen luku?

Neliöjuuri määritellään näin:

Luvun a neliöjuuri on sellainen ei-negatiivinen luku x, jolle x²=a.

Villin huhun mukaan 70-luvulla kouluissa sallittiin myös negatiivinen x vastaukseksi, eli tällöin juuria oli aina 2, paitsi nollalla. Tästä kuitenkin luovuttiin. Olisiko syynä sitten se, että nykyinen määrittely yhdistyy suoraan neliöjuurifunktioon. Kompleksianalyysissä juurifunktioista puhuttaessa on selvittävä, missä haarassa liikutaan. Vähän samaan tapaan, kuin reaalianalyysissa arctan funktiolla leikittäessä pitää tietää, onko kyseessä ns. päähara, vai jokin sivuhaaroista lähtöpuolella.

jukepuke kirjoitti:

Neliöjuuri määritellään näin:

Luvun a neliöjuuri on sellainen ei-negatiivinen luku x, jolle x²=a.

Villin huhun mukaan 70-luvulla kouluissa sallittiin myös negatiivinen x vastaukseksi, eli tällöin juuria oli aina 2, paitsi nollalla. Tästä kuitenkin luovuttiin. Olisiko syynä sitten se, että nykyinen määrittely yhdistyy suoraan neliöjuurifunktioon. Kompleksianalyysissä juurifunktioista puhuttaessa on selvittävä, missä haarassa liikutaan. Vähän samaan tapaan, kuin reaalianalyysissa arctan funktiolla leikittäessä pitää tietää, onko kyseessä ns. päähara, vai jokin sivuhaaroista lähtöpuolella.

Lue lisää

Negatiivisesta haarasta luovuttiin ihan vain siksi, että njuuri olisi funktio.

Olkoon f: R-->R, x |--> x^2.

njuuri: R --> R olkoon funktio, joka on määritelty funktion f|R käänteisfunktiona.

jukepuke kirjoitti:

Neliöjuuri määritellään näin:

Luvun a neliöjuuri on sellainen ei-negatiivinen luku x, jolle x²=a.

Villin huhun mukaan 70-luvulla kouluissa sallittiin myös negatiivinen x vastaukseksi, eli tällöin juuria oli aina 2, paitsi nollalla. Tästä kuitenkin luovuttiin. Olisiko syynä sitten se, että nykyinen määrittely yhdistyy suoraan neliöjuurifunktioon. Kompleksianalyysissä juurifunktioista puhuttaessa on selvittävä, missä haarassa liikutaan. Vähän samaan tapaan, kuin reaalianalyysissa arctan funktiolla leikittäessä pitää tietää, onko kyseessä ns. päähara, vai jokin sivuhaaroista lähtöpuolella.

Lue lisää

... oikein mieltynyt kompleksianalyysin terminologiaan 'moniarvoisesta funktiosta'.

Mielestäni terminologia on vähintäänkin paradoksaalista, ellei jopa perverssiä. :)

jukepuke kirjoitti:

Neliöjuuri määritellään näin:

Luvun a neliöjuuri on sellainen ei-negatiivinen luku x, jolle x²=a.

Villin huhun mukaan 70-luvulla kouluissa sallittiin myös negatiivinen x vastaukseksi, eli tällöin juuria oli aina 2, paitsi nollalla. Tästä kuitenkin luovuttiin. Olisiko syynä sitten se, että nykyinen määrittely yhdistyy suoraan neliöjuurifunktioon. Kompleksianalyysissä juurifunktioista puhuttaessa on selvittävä, missä haarassa liikutaan. Vähän samaan tapaan, kuin reaalianalyysissa arctan funktiolla leikittäessä pitää tietää, onko kyseessä ns. päähara, vai jokin sivuhaaroista lähtöpuolella.

Lue lisää

Vielä sen verran koululaisille, että vaikka neliöjuuri on määritelty positiiviseksi, yhtälön x^2 = a ratkaisu on silti "x=njuuri(a) TAI -njuuri(a)".

Emme voi yksinkertaisesti ottaa neliöjuurta molemmin puolin, sillä neliöjuuri ei ole määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Kuitenkin haluamme kaikki reaaliratkaisut.

nkorppi kirjoitti:

... oikein mieltynyt kompleksianalyysin terminologiaan 'moniarvoisesta funktiosta'.

Mielestäni terminologia on vähintäänkin paradoksaalista, ellei jopa perverssiä. :)

Lue lisää

En ole tuollaiseen termiin törmännyt, kuin 'moniarvoinen funktio'. Mitä se tarkoittaa?

Kuullostaa kummalliselta nimitykseltä, varsinkin kun ottaa huomioon, miten funktio nykymuodossa määritellään. :)

nkorppi kirjoitti:

Vielä sen verran koululaisille, että vaikka neliöjuuri on määritelty positiiviseksi, yhtälön x^2 = a ratkaisu on silti "x=njuuri(a) TAI -njuuri(a)".

Emme voi yksinkertaisesti ottaa neliöjuurta molemmin puolin, sillä neliöjuuri ei ole määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Kuitenkin haluamme kaikki reaaliratkaisut.

Lue lisää

"Vielä sen verran koululaisille, että vaikka neliöjuuri on määritelty positiiviseksi, yhtälön x^2 = a ratkaisu on silti "x=njuuri(a) TAI -njuuri(a)"."

Tämä unohtuu tosiaan helposti lukiolaiselta. Ehkä on hyvä nähdä kerran, mistä asia johtuu:

Tarkastellaan yhtälöä

x^2 = a,

jossa a on epänegatiivinen reaaliluku. Koska yhtälön eri puolet ovat epänegatiivisia, voidaan ottaa puolittain neliöjuuri. Saadaan

njuuri(x^2) = njuuri(a).

Nyt muistetaan se neliöjuuren laskusääntö, joka kertoo neliön neliöjuuren olevan neliöitävän itseisarvo. Siis yhtälö saadaan kirjoitettua muodossa

|x| = njuuri(a).

On olemassa tasan kaksi lukua, joiden itseisarvo on njuuri(a). Ne ovat njuuri(a) itse ja sen vastaluku - njuuri(a). Toisin sanoen yhtälö on nyt muokattu muotoon

x = njuuri(a) tai x = - njuuri(a).

Merkkivaihtoehdot johtuvat siis itseisarvomerkkien poistamisesta.

(Jos a olisi ollut negatiivinen luku, olisi neliöjuurta otettaessa huomattu, ettei a:lla sellaista ole.)

"Mutta entäs polynomi x^2 1 ? Tällä ei ole reaalinollakohtia, joten laajennamme kompleksilukuihin määrittelemällä i=njuuri(-1). "

Imaginaariyksikön määritelmä on i^2=-1. Tästä ei seuraa, että sqrt(-1)=i, vaan että sqrt(-1)=i tai -i riippuen haarasta. Esimerkiksi sqrt(-1)-sqrt(-1)=0, 2i tai -2i.

yksinäinen pohdiskelija kirjoitti:

"Mutta entäs polynomi x^2 1 ? Tällä ei ole reaalinollakohtia, joten laajennamme kompleksilukuihin määrittelemällä i=njuuri(-1). "

Imaginaariyksikön määritelmä on i^2=-1. Tästä ei seuraa, että sqrt(-1)=i, vaan että sqrt(-1)=i tai -i riippuen haarasta. Esimerkiksi sqrt(-1)-sqrt(-1)=0, 2i tai -2i.

Lue lisää

Itse asiassa määrittelemme i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista.

Se, että määrittelet i^2= -1 ei ole yhtään sen oikeampi ajattelutapa kuin i=njuuri(-1). Miksi? :)

Entäs -i ? Myös -i toteuttaa (-i)^2 = -1.

Huomaa, että i ja -i ovat täysin yhdenvertaiset määritelmissämme. Jos vaihtaisimme ne ympäri, mikään ei muuttuisi matikassa. ;)

Kun määrittelemme i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista, valinta on mielivaltainen. Emme vielä ota edes kantaa siihen kuinka monta nollakohtaa on olemassa.

Kun tämä valinta on tehty, vasta sitten voimme puhua -i:stä. Huomaa, että -i:llä ei ole mitään määritelmää ENNEN kuin olemme määritelleet i:n.

Vasta tämän jälkeen todistamme, että kyseisen määritelmä antaa n nollakohtaa n-asteen polynomille. (Tietenkin tämä oli odotettua, sillä se toimi alkuperäisenä inspiraationa.)

Kun käytän huolimatonta notaatiota i=njuuri(-1), tarkoitan "olkoon i ainutlaatuisesti valittu polynomin x^2 1 nollakohta".

Itse asiassa merkintä i := njuuri(-1) olisi vähän parempi (joskin yhä huolimaton). Tuo ':=' merkintä tarkoittaa 'määrittelemme'.

yksinäinen pohdiskelija kirjoitti:

"Mutta entäs polynomi x^2 1 ? Tällä ei ole reaalinollakohtia, joten laajennamme kompleksilukuihin määrittelemällä i=njuuri(-1). "

Imaginaariyksikön määritelmä on i^2=-1. Tästä ei seuraa, että sqrt(-1)=i, vaan että sqrt(-1)=i tai -i riippuen haarasta. Esimerkiksi sqrt(-1)-sqrt(-1)=0, 2i tai -2i.

Lue lisää

Kuten aiemmin totesin, yleinen käytäntö neliöjuurelle on sen mieltäminen funktioksi, eli yksiarvoiseksi. Mm. reaaliluvuilla valitsemme positiivisen 'juuren'.

Siispä merkintäsi "sqrt(-1) = i tai -i" ei ole yhtenäinen varsinainen neliöjuuri-käsitteen kanssa.

Järkevämpi ajattelutapa on "sqrt(-1) := i ja -sqrt(-1)=-i".

Kun sanomme 'yksi polynomin x^2 1 nollakohdista' , epäselvyys notaatiossa ei muodostu esteeksi.

Tavallaan näyttää siltä, että määritelmä 'olettaa' että jokaisella polynomilla on nollakohta. Tosiasiassa MÄÄRITTELEMME yhden nollakohdan polynomille x^2 1, fiksaamme sen, ja katsomme mitä seuraa.

i:llä ei ole mitään absoluuttista olemassaoloa määritelmän ulkopuolella, kuin ei myöskään kokonaisluvuilla. Toisaalta kokonaislukuja on helpompi yhdistää joukkojen kokoihin, mistä syntyy illuusio 'absoluuttisesta' luvusta.

yksinäinen pohdiskelija kirjoitti:

"Mutta entäs polynomi x^2 1 ? Tällä ei ole reaalinollakohtia, joten laajennamme kompleksilukuihin määrittelemällä i=njuuri(-1). "

Imaginaariyksikön määritelmä on i^2=-1. Tästä ei seuraa, että sqrt(-1)=i, vaan että sqrt(-1)=i tai -i riippuen haarasta. Esimerkiksi sqrt(-1)-sqrt(-1)=0, 2i tai -2i.

Lue lisää

... tulee siitä, että puhumme kompleksilukujen 'n-juurista'.

Tämä terminologia on hieman harhaanjohtava, sillä n-juuri() ei ole tässä tapauksessa funktio.

Käytämme terminologiaa 'n-juuret' paremman puutteessa, koska se on helposti ymmärrettävissä kontekstista.

Sanomme, että -i ja i ovat -1:n neliöjuuria. Mutta emme kirjoita sqrt(-1)=i or -i, ellemme käytä 'moniarvoisen funktion' perverssiä käsitettä.

Reaaliluvuilla terminologia yleensä viittaa FUNKTIOON neliöjuuri(), joka on yksiarvoinen.

nkorppi kirjoitti:

Itse asiassa määrittelemme i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista.

Se, että määrittelet i^2= -1 ei ole yhtään sen oikeampi ajattelutapa kuin i=njuuri(-1). Miksi? :)

Entäs -i ? Myös -i toteuttaa (-i)^2 = -1.

Huomaa, että i ja -i ovat täysin yhdenvertaiset määritelmissämme. Jos vaihtaisimme ne ympäri, mikään ei muuttuisi matikassa. ;)

Kun määrittelemme i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista, valinta on mielivaltainen. Emme vielä ota edes kantaa siihen kuinka monta nollakohtaa on olemassa.

Kun tämä valinta on tehty, vasta sitten voimme puhua -i:stä. Huomaa, että -i:llä ei ole mitään määritelmää ENNEN kuin olemme määritelleet i:n.

Vasta tämän jälkeen todistamme, että kyseisen määritelmä antaa n nollakohtaa n-asteen polynomille. (Tietenkin tämä oli odotettua, sillä se toimi alkuperäisenä inspiraationa.)

Kun käytän huolimatonta notaatiota i=njuuri(-1), tarkoitan "olkoon i ainutlaatuisesti valittu polynomin x^2 1 nollakohta".

Itse asiassa merkintä i := njuuri(-1) olisi vähän parempi (joskin yhä huolimaton). Tuo ':=' merkintä tarkoittaa 'määrittelemme'.

Lue lisää

En vieläkään tajua, kuinka voit määritellä i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista. Mielestäni määritelmä kertoo vain sen, että on olemassa luku i jolle i^2=-1. Mutta mitä on määritelmän mukaan i i? Polynomin nollakohta polynomin nollakohta = ???

Itse ole tottunut määrittelemään imaginaariyksikön i, sopimalla merkinnästä a bi ja määrittelemällä kompleksilukujen summan ja tulon. Näin saan kauniisti rakennettu kompleksilukujen kunnan ja pystyn laskemaan kätevästi kompleksiluvuilla.

nkorppi kirjoitti:

... tulee siitä, että puhumme kompleksilukujen 'n-juurista'.

Tämä terminologia on hieman harhaanjohtava, sillä n-juuri() ei ole tässä tapauksessa funktio.

Käytämme terminologiaa 'n-juuret' paremman puutteessa, koska se on helposti ymmärrettävissä kontekstista.

Sanomme, että -i ja i ovat -1:n neliöjuuria. Mutta emme kirjoita sqrt(-1)=i or -i, ellemme käytä 'moniarvoisen funktion' perverssiä käsitettä.

Reaaliluvuilla terminologia yleensä viittaa FUNKTIOON neliöjuuri(), joka on yksiarvoinen.

Lue lisää

... yhdessä toisessakin terminologiassa.

e^x on funktio reaaliluvuilla. Huomaa, että voimme ilmaista tämän funktion sarjana (eli summana) x:n suhteen.

MUTTA e^x EI ole funktio kompleksiluvuilla. Mitä ihmettä tarkoitettaisiin kompleksi-eksponentilla?!

Sen sijaan käytämme edellä mainittua sarjamääritelmää EXP(x), joka ON funktio kompleksiluvuilla.

Usein EXP(x) ja e^x sekoitetaan terminologiassa, mistä syntyy ärsyttäviä väärinkäsityksiä.

Nämä kaksi funktiota ovat samat reaaliluvuilla, mutta vain toinen niistä on määritelty kompleksiluvuilla.

nkorppi kirjoitti:

Itse asiassa määrittelemme i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista.

Se, että määrittelet i^2= -1 ei ole yhtään sen oikeampi ajattelutapa kuin i=njuuri(-1). Miksi? :)

Entäs -i ? Myös -i toteuttaa (-i)^2 = -1.

Huomaa, että i ja -i ovat täysin yhdenvertaiset määritelmissämme. Jos vaihtaisimme ne ympäri, mikään ei muuttuisi matikassa. ;)

Kun määrittelemme i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista, valinta on mielivaltainen. Emme vielä ota edes kantaa siihen kuinka monta nollakohtaa on olemassa.

Kun tämä valinta on tehty, vasta sitten voimme puhua -i:stä. Huomaa, että -i:llä ei ole mitään määritelmää ENNEN kuin olemme määritelleet i:n.

Vasta tämän jälkeen todistamme, että kyseisen määritelmä antaa n nollakohtaa n-asteen polynomille. (Tietenkin tämä oli odotettua, sillä se toimi alkuperäisenä inspiraationa.)

Kun käytän huolimatonta notaatiota i=njuuri(-1), tarkoitan "olkoon i ainutlaatuisesti valittu polynomin x^2 1 nollakohta".

Itse asiassa merkintä i := njuuri(-1) olisi vähän parempi (joskin yhä huolimaton). Tuo ':=' merkintä tarkoittaa 'määrittelemme'.

Lue lisää

Ja voidaan määritellä myös niin, että kompleksilukujen kunta C koostuu kaikista pareista (x,y) ∈ R², joille määritellään yhteen- ja kertolasku seuraavasti:

Olkoon z=(x,y) ∈ C ja w=(u,v) ∈ C.

z w = (x u,y v)
zw = (xu - yv,xv yu).

Nolla-alkio kunnassa on 0 = (0,0) ja ykkösalkio 1 = (1,0). Edelleen määritellään, että i := (0,1) ∈ C on imaginääriyksikkö.

Kun vielä samaistetaan reaaliluku a luvuksi (a,0), niin voidaan tulkita, että R ⊂ C.

nkorppi kirjoitti:

... tulee siitä, että puhumme kompleksilukujen 'n-juurista'.

Tämä terminologia on hieman harhaanjohtava, sillä n-juuri() ei ole tässä tapauksessa funktio.

Käytämme terminologiaa 'n-juuret' paremman puutteessa, koska se on helposti ymmärrettävissä kontekstista.

Sanomme, että -i ja i ovat -1:n neliöjuuria. Mutta emme kirjoita sqrt(-1)=i or -i, ellemme käytä 'moniarvoisen funktion' perverssiä käsitettä.

Reaaliluvuilla terminologia yleensä viittaa FUNKTIOON neliöjuuri(), joka on yksiarvoinen.

Lue lisää

Ajatukseni lähti vain Maolin taulukkoa lukemalla. Siellä on annettu kaava, jolla voi laskea kompeksiluvun n:nnen juuren, jolloin tulos on moniarvoinen. En sitten tiedä, miten tulosta pitäisi tulkita, jos tämän jälkeen luvulle pitää tehdä vielä jotain. Eikös ainakin kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa oteta kuutiojuuri kompleksiluvusta kahteen kertaan ja näitä lasketa yhteen.

nkorppi kirjoitti:

... yhdessä toisessakin terminologiassa.

e^x on funktio reaaliluvuilla. Huomaa, että voimme ilmaista tämän funktion sarjana (eli summana) x:n suhteen.

MUTTA e^x EI ole funktio kompleksiluvuilla. Mitä ihmettä tarkoitettaisiin kompleksi-eksponentilla?!

Sen sijaan käytämme edellä mainittua sarjamääritelmää EXP(x), joka ON funktio kompleksiluvuilla.

Usein EXP(x) ja e^x sekoitetaan terminologiassa, mistä syntyy ärsyttäviä väärinkäsityksiä.

Nämä kaksi funktiota ovat samat reaaliluvuilla, mutta vain toinen niistä on määritelty kompleksiluvuilla.

Lue lisää

Ei kai tuossa mitään ongelmaa tule, kun määritellään, että e^z := e^x*(cos(y) i*sin(y)), kun z = x iy ∈ C. Näin määriteltynä kyseessä on eksponenttifunktio, joka yhtyy reaaliseen eksponenttifunktioon. Miten tässä tulee väärinkäsityksiä?

Yksinäinen pohdiskelija kirjoitti:

En vieläkään tajua, kuinka voit määritellä i:n olevan yksi polynomin x^2 1 nollakohdista. Mielestäni määritelmä kertoo vain sen, että on olemassa luku i jolle i^2=-1. Mutta mitä on määritelmän mukaan i i? Polynomin nollakohta polynomin nollakohta = ???

Itse ole tottunut määrittelemään imaginaariyksikön i, sopimalla merkinnästä a bi ja määrittelemällä kompleksilukujen summan ja tulon. Näin saan kauniisti rakennettu kompleksilukujen kunnan ja pystyn laskemaan kätevästi kompleksiluvuilla.

Lue lisää

Voin määritellä i:n polynomin x^2 1 nollakohdaksi aivan samoin valtuutuksin kuin sinä kertoeassasi olevan olemassa i, jolle i^2=-1. :)

Miksi sellainen i pitäisi olla olemassa? Miksi määrittelemme sen? Syy on nimenomaan siinä, että toivomme kaikilla reaalikertoimisilla polynomeilla olevan nollakohta.

Kysymykseesi siitä, miten peruslaskutoimitukset voidaan määritellä luvuille a bi, vastaus on että määrittelemme ne kylmän rauhallisesti erikseen:

(a bi)*(c di)=(ac-bd) (ad bc)i
(a bi) (c di)=(a c) (b d)i

Tämän jälkeen voimme halutessamme Tarkistaa, että näin muodostamme kunnan.

Voimme osoittaa, että C = R(i), eli pienin reaalilukuja laajentava kunta, joka sisältää i:n. Voimme osoittaa tämän suoraan määritelmästä, että i on polynomin x^2 1 nollakohta.

Itseasiassa sanomme, että 'C is the splitting field of x^2 1'. (En nyt muista termiä suomeksi.) Voimme helposti todistaa, että määritelmä johtaa edellämainittuun muotoon a bi. Se ei ole ongelma.

On lähes uskomatonta, että C sisältää kaikkien kompleksikertoimisten polynomien splitting fieldit.

Syy siihen, että ihmiset tottuvat epätarkkoihin määritelmiin on yksinkertaisesti se, ettei koulussa ole mielekästä opetella kovinkaan paljoa kunnista tai Galois teoriasta.

jukepuke kirjoitti:

Ei kai tuossa mitään ongelmaa tule, kun määritellään, että e^z := e^x*(cos(y) i*sin(y)), kun z = x iy ∈ C. Näin määriteltynä kyseessä on eksponenttifunktio, joka yhtyy reaaliseen eksponenttifunktioon. Miten tässä tulee väärinkäsityksiä?

Lue lisää

Tulee siinä, että '^' on varattu 'potenssiin' merkinnälle.

Ei ole olemassa 'kompleksi-potensseja', joten merkintä on harhaanjohtava.

Sitä paitsi määritelmäsi funktiolle exp(z) on väärin.

Sen pitäisi olla e^(|z|)*(cos(xt) isin(yt)), missä t on z:n argumentti.

nkorppi kirjoitti:

Tulee siinä, että '^' on varattu 'potenssiin' merkinnälle.

Ei ole olemassa 'kompleksi-potensseja', joten merkintä on harhaanjohtava.

Sitä paitsi määritelmäsi funktiolle exp(z) on väärin.

Sen pitäisi olla e^(|z|)*(cos(xt) isin(yt)), missä t on z:n argumentti.

Lue lisää

Sori, Vieläkin tuo näyttää olleen väärin:

e^(|z|)*(cos(|z|t) isin(|z]t)) on oikein. :)

nkorppi kirjoitti:

Tulee siinä, että '^' on varattu 'potenssiin' merkinnälle.

Ei ole olemassa 'kompleksi-potensseja', joten merkintä on harhaanjohtava.

Sitä paitsi määritelmäsi funktiolle exp(z) on väärin.

Sen pitäisi olla e^(|z|)*(cos(xt) isin(yt)), missä t on z:n argumentti.

Lue lisää

Siis mitä? Kyllä minun määritelmäni on ihan oikein. Kaiken lisäksi kompleksinen potenssifunktio on olemassa ihan samalla tavalla, kuin reaalisella puolella.

jukepuke kirjoitti:

Siis mitä? Kyllä minun määritelmäni on ihan oikein. Kaiken lisäksi kompleksinen potenssifunktio on olemassa ihan samalla tavalla, kuin reaalisella puolella.

... määritelmäsi oli oikein, mutta huomaa, että funktio saa saman arvon 2PI*i välein.

Selkeästikään funktio ei vastaa millään tavalla ajatusta 'potenssiin korottamisesta': eli itsellään kertomisesta. Tässä tapauksessa 'logaritmi' ei ole pelkästään moniarvoinen, vaan ääretön joukko!

On tiettyjä muodollisia yhteyksiä, (joita tässä yritän kovasti palauttaa mieleen), joissa on hyödyllisintä määritellä exp(z) sarjakehitelmänä -- ilman mitään taka-ajatusta potenssiin korottamisesta.

Otetaan vaikkapa sin(z) tai cos(z). Selkeästikään nämä eivät ole trigonometrisiä funktioita perinteisessä mielessä: mikä on kompleksi kulma? Sen sijaan käytämme sarjamääritelmää todistaaksemme teorioitamme.

Sarjamääritelmä on siinä suhteessa vahva, että voimme todistaa kaiken puhtaalta pöydältä, määrittelemättä ensin reaalipotensseja. Tällainen lähestymistapa on käsittääkseni vahvin ja puhtain.

nkorppi kirjoitti:

Sori, Vieläkin tuo näyttää olleen väärin:

e^(|z|)*(cos(|z|t) isin(|z]t)) on oikein. :)

Jeps. Pahoittelut tuosta, jukepuken määritelmä oli oikein.

Olin jo unohtanut tuon varsin ruman määritelmän. Nimittäin siinä meidän on ensin määriteltävä reaalieksponentti sekä trigonometriset funktiot reaaliluvuille.

Sarjamääritelmät ovat niin vahvoja, että määriteltyämme ne kompleksiluvuille, saamme potenssit ja trigonometriset funktiot saman tien reaaliluvuille!

Sarjamääritelmä on siten piilotettu tuohonkin. Selvästikin sarjamääritelmät ovat vahvimpia, sillä niissä tarvitaan vähiten oletuksia.

Jos voit todistaa jotain suoraan kompleksiluvuille (ja saman tien reaaliluvuille), on varsin takapajuista todistaa se Ensin reaaliluvuille ja sitä käyttäen kompleksiluvuille. Eikö vain?

nkorppi kirjoitti:

... määritelmäsi oli oikein, mutta huomaa, että funktio saa saman arvon 2PI*i välein.

Selkeästikään funktio ei vastaa millään tavalla ajatusta 'potenssiin korottamisesta': eli itsellään kertomisesta. Tässä tapauksessa 'logaritmi' ei ole pelkästään moniarvoinen, vaan ääretön joukko!

On tiettyjä muodollisia yhteyksiä, (joita tässä yritän kovasti palauttaa mieleen), joissa on hyödyllisintä määritellä exp(z) sarjakehitelmänä -- ilman mitään taka-ajatusta potenssiin korottamisesta.

Otetaan vaikkapa sin(z) tai cos(z). Selkeästikään nämä eivät ole trigonometrisiä funktioita perinteisessä mielessä: mikä on kompleksi kulma? Sen sijaan käytämme sarjamääritelmää todistaaksemme teorioitamme.

Sarjamääritelmä on siinä suhteessa vahva, että voimme todistaa kaiken puhtaalta pöydältä, määrittelemättä ensin reaalipotensseja. Tällainen lähestymistapa on käsittääkseni vahvin ja puhtain.

Lue lisää

Sarjakehitelmä on tuonkin määritelmän pohjana loppupeleissä.

Reaaliluvulle t on

e^t = 1 t t^2/2! t^3/3! ... = Σ t^k/k!.

Jos nyt otetaan kompleksiluku i*y ∈ C, missä y ∈ R. Tälle on luonnollista määritellä juuri tuolla sarjakehitelmällä

e^iy = 1 iy - y^2/2! - y^3/3! ...
= (1 - y^2/2! y^4/4! -...) i(y - y^3/3! y^5/5! - ...)
= cos(y) i*sin(y),

sillä kosinin ja sinin sarjakehitelmät ovat

cos(y) = 1 - y^2/2! y^4/4! -...
sin(y) = y - y^3/3! y^5/5! - ...

Loppu seuraakin reaalisen eksponenttifunktion laskusäännöstä e^(a b) = e^a*e^b.

jukepuke kirjoitti:

Siis mitä? Kyllä minun määritelmäni on ihan oikein. Kaiken lisäksi kompleksinen potenssifunktio on olemassa ihan samalla tavalla, kuin reaalisella puolella.

Kun sanoit, että potenssit ovat olemassa kompleksiluvuille 'samalla tavalla' kuin reaaliluvuille, tämä on mielestäni uskomaton ajatus, kun ottaa huomioon että kompleksiluvuilla on ääretön joukko 'logaritmina'.

Päinvastoin, kun määrittelemme exp(z) sarjana, se on määritelty reaaliluvuillekin ('samalla tavalla'). Kun asiaa katsoo näin päin, 'potenssiin korottaminen reaaliluville' on vain sarjamääritelmän erikoistapaus.

jukepuke kirjoitti:

Sarjakehitelmä on tuonkin määritelmän pohjana loppupeleissä.

Reaaliluvulle t on

e^t = 1 t t^2/2! t^3/3! ... = Σ t^k/k!.

Jos nyt otetaan kompleksiluku i*y ∈ C, missä y ∈ R. Tälle on luonnollista määritellä juuri tuolla sarjakehitelmällä

e^iy = 1 iy - y^2/2! - y^3/3! ...
= (1 - y^2/2! y^4/4! -...) i(y - y^3/3! y^5/5! - ...)
= cos(y) i*sin(y),

sillä kosinin ja sinin sarjakehitelmät ovat

cos(y) = 1 - y^2/2! y^4/4! -...
sin(y) = y - y^3/3! y^5/5! - ...

Loppu seuraakin reaalisen eksponenttifunktion laskusäännöstä e^(a b) = e^a*e^b.

Lue lisää

... on, että koulumatikasta johtuen meille on iskostettu päähän tietty kuva 'potensseista', jota sitten yritämme soveltaa suoraan kompleksilukuihin.

Tosiasiassa, kuten kirjoittamasi sarjat osoittavat, luonnollisin tapa on määritellä ensin sarjafunktiot kompleksiluvuille ja vasta sitten miettiä, miten funktiot ilmenevät reaaliluvuille.

Jos olemme muodollisia, niin e^z on varsin hölmö, (ja koulumatikasta kumpuava) merkintätapa sarjafunktiolle.

nkorppi kirjoitti:

... on, että koulumatikasta johtuen meille on iskostettu päähän tietty kuva 'potensseista', jota sitten yritämme soveltaa suoraan kompleksilukuihin.

Tosiasiassa, kuten kirjoittamasi sarjat osoittavat, luonnollisin tapa on määritellä ensin sarjafunktiot kompleksiluvuille ja vasta sitten miettiä, miten funktiot ilmenevät reaaliluvuille.

Jos olemme muodollisia, niin e^z on varsin hölmö, (ja koulumatikasta kumpuava) merkintätapa sarjafunktiolle.

Lue lisää

Tottakai pitää ymmärtää, että kyseessä on tavallaan eri asia, kuin reaalilukujen tapauksessa. Koulumatematiikan pohjalla ei pysty ymmärtämään potenssiin korotuksen syvempää merkitystä. Sen takia algebran ym. opiskelua tarvitaan pohjalle.

Mielestäni matematiikan luonteeseen kuuluu kysyä, voidaanko jokin määritelmä laajentaa. Minusta reaalianalyysissä itsessään on jo paljon pureskeltavaa ja sen käsittely on eri luontoista, kuin kompleksianalyysi. Sen vuoksi on hyvä hallita ensin reaalianalyysi ja sitä kautta laajentaa kompleksianalyysiin.

nkorppi kirjoitti:

... on, että koulumatikasta johtuen meille on iskostettu päähän tietty kuva 'potensseista', jota sitten yritämme soveltaa suoraan kompleksilukuihin.

Tosiasiassa, kuten kirjoittamasi sarjat osoittavat, luonnollisin tapa on määritellä ensin sarjafunktiot kompleksiluvuille ja vasta sitten miettiä, miten funktiot ilmenevät reaaliluvuille.

Jos olemme muodollisia, niin e^z on varsin hölmö, (ja koulumatikasta kumpuava) merkintätapa sarjafunktiolle.

Lue lisää

>Jos olemme muodollisia, niin e^z on varsin hölmö,
>(ja koulumatikasta kumpuava) merkintätapa
>sarjafunktiolle.

Minusta tärkeintä on tietää konteksti, missä merkintöjä käytetään. Käytetäänhän algebrassa neutraalialkiostakin naiivin tuntuista merkintää 1 tai 0, mikä kuitenkin asiayhteydestä selviää. Ovathan sini ja kosinikin sarjafunktioita. Ovatko niiden merkinnätkin sitten jotenkin hölmöjä (siis sin(x) ja cos(x))?

jukepuke kirjoitti:

Tottakai pitää ymmärtää, että kyseessä on tavallaan eri asia, kuin reaalilukujen tapauksessa. Koulumatematiikan pohjalla ei pysty ymmärtämään potenssiin korotuksen syvempää merkitystä. Sen takia algebran ym. opiskelua tarvitaan pohjalle.

Mielestäni matematiikan luonteeseen kuuluu kysyä, voidaanko jokin määritelmä laajentaa. Minusta reaalianalyysissä itsessään on jo paljon pureskeltavaa ja sen käsittely on eri luontoista, kuin kompleksianalyysi. Sen vuoksi on hyvä hallita ensin reaalianalyysi ja sitä kautta laajentaa kompleksianalyysiin.

Lue lisää

... siitä, että on hyvä opetella tiettyjä asioita eri tavalla ja järkevässä järjestyksessä.

Minä kuitenkin näen asian niin, että yleistetyn notaation tulee perustua yleistykseen, eikä yleistettävään asiaan.

Se, että yleistämme funktion e^x, ei pakosti johda siihen, että e^z olisi looginen merkintätapa yleistykselle.

Esim: Vaikka opettelemme ensin mikä on kolmio, ja vasta sitten yleistämme sen n-kulmioksi, emme silti suinkaan kutsu neliötä 4-kolmioksi. :)

Ajattelet ehkä, että notaatio on sivuseikka, mutta mielestäni on tärkeää, että notaatio ilmentää mahdollisimman intuitiivisesti esittämäänsä asiaa.

Esim. 'kompakti' on yleistys konseptista 'äärellinen'. Mutta emme kutsu sitä vaikkapa 'super-äärelliseksi', sillä kompakti avaruus ei pakosti ole äärellinen.

jukepuke kirjoitti:

>Jos olemme muodollisia, niin e^z on varsin hölmö,
>(ja koulumatikasta kumpuava) merkintätapa
>sarjafunktiolle.

Minusta tärkeintä on tietää konteksti, missä merkintöjä käytetään. Käytetäänhän algebrassa neutraalialkiostakin naiivin tuntuista merkintää 1 tai 0, mikä kuitenkin asiayhteydestä selviää. Ovathan sini ja kosinikin sarjafunktioita. Ovatko niiden merkinnätkin sitten jotenkin hölmöjä (siis sin(x) ja cos(x))?

Lue lisää

sin(z) ei ehkä ole täydellinen notaatio, mutta se ei tuota ongelmia, sillä ainoa järkevä tapa tulkita se kompleksiluvuille on sarjana.

Lisäksi se on funktiomuotoinen sin(). Jos reaaliluvuista tietämättömänä määrittelisin merkinnän sarjafunktiolle, ei sin() olisi lainkaan hullu merkintätapa.

Sen sijaan e^z ei näytä funktiomerkinnältä, vaan antaa ymmärtää, että kyseessä on jotakin analogista e^x kanssa. En ikinä merkitsisi yleistä sarjafunktiota tällä tavoin.

Mielestäni tulee välttää sitä, että kasataan samalle notaatiolle hyvin erilaisia merkityksiä.

Toki on käytettävä maalaisjärkeä arvioitaessa, että mitkä tulkinnat ovat selviä kontekstista. Jossakin määrin tämä on mielipidekysymys.

jukepuke kirjoitti:

>Jos olemme muodollisia, niin e^z on varsin hölmö,
>(ja koulumatikasta kumpuava) merkintätapa
>sarjafunktiolle.

Minusta tärkeintä on tietää konteksti, missä merkintöjä käytetään. Käytetäänhän algebrassa neutraalialkiostakin naiivin tuntuista merkintää 1 tai 0, mikä kuitenkin asiayhteydestä selviää. Ovathan sini ja kosinikin sarjafunktioita. Ovatko niiden merkinnätkin sitten jotenkin hölmöjä (siis sin(x) ja cos(x))?

Lue lisää

... vaikkapa näitä Körnerin muistiinpanoja yliopiston ekan vuoden Analyysi-kurssista, (http://www.dpmms.cam.ac.uk/~twk/C5.pdf), niin siellä kommentoidaan notaatiosta näin:

In school you learned all about the functions exp, log, sin and cos and about the behaviour of x^a. Nothing that you learned was wrong (we hope) but you might be hard pressed to prove all the facts you know in a coherent manner, To get round this problem, we start from scratch making new definitions and assuming nothing about these various functions. One of your tasks is to make sure that the lecturer does not slip in some unproved fact. On the other hand you must allow your lecturer to choose definitions which allow an easy development of the subject rather than those that follow some `historic',`intuitive' or `pedagogically appropriate' path.

nkorppi kirjoitti:

... siitä, että on hyvä opetella tiettyjä asioita eri tavalla ja järkevässä järjestyksessä.

Minä kuitenkin näen asian niin, että yleistetyn notaation tulee perustua yleistykseen, eikä yleistettävään asiaan.

Se, että yleistämme funktion e^x, ei pakosti johda siihen, että e^z olisi looginen merkintätapa yleistykselle.

Esim: Vaikka opettelemme ensin mikä on kolmio, ja vasta sitten yleistämme sen n-kulmioksi, emme silti suinkaan kutsu neliötä 4-kolmioksi. :)

Ajattelet ehkä, että notaatio on sivuseikka, mutta mielestäni on tärkeää, että notaatio ilmentää mahdollisimman intuitiivisesti esittämäänsä asiaa.

Esim. 'kompakti' on yleistys konseptista 'äärellinen'. Mutta emme kutsu sitä vaikkapa 'super-äärelliseksi', sillä kompakti avaruus ei pakosti ole äärellinen.

Lue lisää

Millä tavalla kompakti on yleistys äärellisestä? Jos jotain yleistetään, niin yleistystä edeltävien joukkojenkin olisi siihen kuuluttava, mutta kaikki äärelliset joukot eivät ole kompakteja.

jukepuke kirjoitti:

Millä tavalla kompakti on yleistys äärellisestä? Jos jotain yleistetään, niin yleistystä edeltävien joukkojenkin olisi siihen kuuluttava, mutta kaikki äärelliset joukot eivät ole kompakteja.

Lue lisää

Oletko ollenkaan perehtynyt kompaktisuuden määritelmään? Määritelmän mukaan avaruus X on kompakti jos sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Äärelliset joukot ovat kompakteja, sillä jos otetaan mielivaltainen äärellinen avaruus X={x_1,...x_n}, voidaan jokaiselle x_i löytää avoin ympäristö U_i ja kysytty X:n avoin peite saadaan ottamalla yhdiste U_i:stä.

jukepuke kirjoitti:

Millä tavalla kompakti on yleistys äärellisestä? Jos jotain yleistetään, niin yleistystä edeltävien joukkojenkin olisi siihen kuuluttava, mutta kaikki äärelliset joukot eivät ole kompakteja.

Lue lisää

Let X= {x_1,...,x_n} be a finite set in Y.

Let U be an open cover of X in Y. For each i, let U_i denote an open set in U containing x_i.

Now the set {U_i} is a finite subcover of X.

Thus X is compact.

Eli käsittääkseni kaikki äärelliset joukot ovat kompakteja, yllä olevan argumentin perusteella.

Yksinäinen pohdiskelija kirjoitti:

Ajatukseni lähti vain Maolin taulukkoa lukemalla. Siellä on annettu kaava, jolla voi laskea kompeksiluvun n:nnen juuren, jolloin tulos on moniarvoinen. En sitten tiedä, miten tulosta pitäisi tulkita, jos tämän jälkeen luvulle pitää tehdä vielä jotain. Eikös ainakin kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa oteta kuutiojuuri kompleksiluvusta kahteen kertaan ja näitä lasketa yhteen.

Lue lisää

Mitä kompleksiluvulle z tapahtuu, kun se nostetaan potenssiin n, missä n on luonnollinen luku?

Jos mietitään z:aa vektorina tasossa, sen pituus nousee potenssiin n, ja sen tekemä kulma positiivisen x-akselin kanssa n-kertaistuu. Eli potenssiin korottaminen aiheuttaa rotaation.

Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että z^n = 1 (huomaa, että tällöin z:n pituus on 1, ja että muut tapaukset voi johtaa tästä).

z_0=1 on yksi ratkaisu. Oletetaan, että z_1 on kulmaltaan toiseksi pienin ratkaisu. Tällöin sen kulma on 2PI/n, ja potenssiin korottaminen on kulman kertomista luvulla n.

Mutta kulmat 2* 2PI/n, 3* 2PI/n,..., (n-1)*2PI/n toimivat yhtä hyvin -- tällöin vain pyörimme useampia kierroksia yksikköympyrää pitkin. Näistä saamme ratkaisut z_2,...,z_(n-1)

Eli kompleksiluvut antavat n kappaletta 'n-juuria' luvulle 1. Tämä tieto tarjoaa aika paljon sovelluksia edistyneempään algebraan.

nkorppi kirjoitti:

Mitä kompleksiluvulle z tapahtuu, kun se nostetaan potenssiin n, missä n on luonnollinen luku?

Jos mietitään z:aa vektorina tasossa, sen pituus nousee potenssiin n, ja sen tekemä kulma positiivisen x-akselin kanssa n-kertaistuu. Eli potenssiin korottaminen aiheuttaa rotaation.

Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että z^n = 1 (huomaa, että tällöin z:n pituus on 1, ja että muut tapaukset voi johtaa tästä).

z_0=1 on yksi ratkaisu. Oletetaan, että z_1 on kulmaltaan toiseksi pienin ratkaisu. Tällöin sen kulma on 2PI/n, ja potenssiin korottaminen on kulman kertomista luvulla n.

Mutta kulmat 2* 2PI/n, 3* 2PI/n,..., (n-1)*2PI/n toimivat yhtä hyvin -- tällöin vain pyörimme useampia kierroksia yksikköympyrää pitkin. Näistä saamme ratkaisut z_2,...,z_(n-1)

Eli kompleksiluvut antavat n kappaletta 'n-juuria' luvulle 1. Tämä tieto tarjoaa aika paljon sovelluksia edistyneempään algebraan.

Lue lisää

>>z_0=1 on yksi ratkaisu. Oletetaan, että z_1 on >>kulmaltaan toiseksi pienin ratkaisu. Tällöin sen >>kulma on 2PI/n, ja potenssiin korottaminen on >>kulman kertomista luvulla n.

>>Mutta kulmat 2* 2PI/n, 3* 2PI/n,..., (n-1)*2PI/n >>toimivat yhtä hyvin -- tällöin vain pyörimme >>useampia kierroksia yksikköympyrää pitkin. >>Näistä saamme ratkaisut z_2,...,z_(n-1)

>>Eli kompleksiluvut antavat n kappaletta >>'n-juuria' luvulle 1. Tämä tieto tarjoaa aika >>paljon sovelluksia edistyneempään algebraan.

Eli ymmärsinkö oikein, että tätä tarkoitetaan tällä kompleksijuuren haaralla?

nkorppi kirjoitti:

Let X= {x_1,...,x_n} be a finite set in Y.

Let U be an open cover of X in Y. For each i, let U_i denote an open set in U containing x_i.

Now the set {U_i} is a finite subcover of X.

Thus X is compact.

Eli käsittääkseni kaikki äärelliset joukot ovat kompakteja, yllä olevan argumentin perusteella.

Lue lisää

Anteeksi möhellykseni :). En ymmärrä miksi ihmeessä sekoitan äärellisen joukon ja rajoitetun joukon käsitteet. Ei ollut ensimmäinen kerta. Eli siis yleistys toimii vallan mainiosti tuossa.

Nyt en jaksa enää keskittyä notaatioseikkoihin, josta keskustelimme, mutta ehkäpä vielä palaan. ;)

ttttt kirjoitti:

>>z_0=1 on yksi ratkaisu. Oletetaan, että z_1 on >>kulmaltaan toiseksi pienin ratkaisu. Tällöin sen >>kulma on 2PI/n, ja potenssiin korottaminen on >>kulman kertomista luvulla n.

>>Mutta kulmat 2* 2PI/n, 3* 2PI/n,..., (n-1)*2PI/n >>toimivat yhtä hyvin -- tällöin vain pyörimme >>useampia kierroksia yksikköympyrää pitkin. >>Näistä saamme ratkaisut z_2,...,z_(n-1)

>>Eli kompleksiluvut antavat n kappaletta >>'n-juuria' luvulle 1. Tämä tieto tarjoaa aika >>paljon sovelluksia edistyneempään algebraan.

Eli ymmärsinkö oikein, että tätä tarkoitetaan tällä kompleksijuuren haaralla?

Lue lisää

Ymmärsit oikein.