Alkoi ihmetyttää miksi alkulukuja etsittäessä ollaan aina kiinnostuneita muotoa 2^n-1 olevista luvuista, eikä ikinä 2^n 1 tyyppisistä. Jälkimmäisten luulisi olevan helpompia tutkia, sillä 2-järjestelmässä ne ovat lukuja, joissa on ykkönen molemmissa päissä ja n-1 nollaa välissä. 2^n-1 on n:n ykkösen jono. Kun teki asiasta taulukon välillä n=1,2,...,31, oli 2^n-1 tyyppisiä alkulukuja kylläkin enemmän (8 kpl) kuin 2^n 1 tyyppisiä (5 kpl). Varsinainen asia ei kuitenkaan ole tämä vaan:
2^n 1 olevat alkuluvut olivat 2^1 1, 2^2 1, 2^4 1, 2^8 1 ja 2^16 1. Tässä näkyy selvä sääntö. Ne ovat kaikki muotoa 2^(2^k) 1, k=0,1,2,3,4. Tulee ajatus, että jospa tämä kaava tuottaakin aina alkuluvun.
Mutta voi, voi. Kun sai laskuohjelmat toimimaan, niin tulos oli että heti seuraava 2^32 1=641*6700417 ja sitä seuraava 2^64 1=274177*67280421310721.
Ei voi mitään.
2^n 1 olevat alkuluvut olivat 2^1 1, 2^2 1, 2^4 1, 2^8 1 ja 2^16 1. Tässä näkyy selvä sääntö. Ne ovat kaikki muotoa 2^(2^k) 1, k=0,1,2,3,4. Tulee ajatus, että jospa tämä kaava tuottaakin aina alkuluvun.
Mutta voi, voi. Kun sai laskuohjelmat toimimaan, niin tulos oli että heti seuraava 2^32 1=641*6700417 ja sitä seuraava 2^64 1=274177*67280421310721.
Ei voi mitään.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Jos 2^n 1 on alkuluku, on n muotoa 2^m jollakin kokonaisluvulla m. Fermat'n luvut 2^(2^n) 1 kasvavat hetkessä niin isoiksi, että niiden todistaminen alkuluvuiksi on toivotonta nykyisten tietokoneiden laskukapasiteetilla. Sen sijaan jos 2^n-1 on alkuluku, on n alkuluku ja paljoa muuta ei n:stä tiedetä. 2^n kasvaa huomattavasti hitaammin kuin 2^(2^n), joten suurimmat löydetyt luvut ovat juuri muotoa 2^p-1, niin sanottuja Mersennen alkulukuja. Lisäksi luvut muotoa 2^p-1 voidaan testata alkuluvuksi algoritmilla, jonka suoritusaika on luokkaa O(p), joten tämän takia suurimmat tunnetut alkuluvut ovat usein muotoa 2^p-1, ei mielivaltaisia.