Taskussa on 3 kpl 5 mk:n, 5 kpl 1 mk:n ja 2 kpl 50 pennin kolikkoa. Linja-automatka maksaa 10 mk 50 p. Taskusta otetaan umpimähkään kolme kolikkoa. Millä todennäköisyydellä saadaan tasaraha?
Kuinka monta erikokoista rahamäärää voidaan muodostaa 10 mk:n, 5 mk:n, 1 mk:n ja 50 p:n kolikoista?
Kuinka monta erikokoista rahamäärää voidaan muodostaa 10 mk:n, 5 mk:n, 1 mk:n ja 50 p:n kolikoista?
Vastaukset 5
Vanhimmat
... tottakai, mutta pliis pliis (!) laita tästä lähtien aina oma ratkaisuyritys mukaan, sillä se on Paljon hyödyllisempää oppimisen kannalta.
Ensiaskel on käydä läpi niitä asioita mitä tehtävästä tiedät:
1) Ellet ota ainakin yhtä vitosen kolikkoa, et saa riittävästi kokoon.
2) Onnistuneet tasarahat saadaan siis vain kahdella eri tavalla:
1 vitonen, 5 ykköstä, ja yksi 50p
2 vitosta, ja yksi 50 p.
3) Kolikkoja on yhteensä 10, joten mahdollisia kombinaatioita on 10C3.
4) Onnistuneita kombinaatioita on (3C1)(5C5)(2C1) (3C2)(5C0)(2C1).
5) Vastaus on siis
[(3C1)(5C5)(2C1) (3C2)(5C0)(2C1)]/10C3 = 1/10
***
Kakkoskysymys: Tässä kai oletetaan, että kunkinsuuruista kolikkoa on vain yksi kappale.
Sinulla 2^4-1 mahdollista tapaa valita ei-nolla määrä kolikkoja. Miksi?
Miksi kaikki näin saatavat 2^4-1 summaa ovat erilaisia? (Vihje: Voiko minkään kolikon suuruutta muodostaa yhdistelemällä pienempiä kolikoita?)
en osannut aloittaa koko laskutoimitusta, en vain ymmärrä miten tuollaisia ratkotaan ja siksi en osannut laittaa edes yritystä mukaan =(
Elikä nCr (kirjoitetaan myös (n r) pystysuoraan), eli binomikerroin, on merkintätapa luvulle, joka kertoo kuinka monta r-suuruista osajoukkoa n-suuruisella joukolla on.
Esim. 8C3 on luku, joka kertoo kuinka monella tavalla voimme valita 3 esinettä kahdeksasta (niin, että järjestyksellä ei ole väliä).
Sen arvon saat laskimen 'nCr'-toiminnolla, tai sitten kaavalla nCr = n!/(r!(n-r)!) . Tässä merkitsemme n! = 1*2*3*...*n.
Tämän pitäisi esiintyä oppimateriaalissa, sillä tehtävät vaikeutuvat huomattavasti ilman sitä.
Oletetaan, että kyse on todennäisyyslaskennan peruskurssin ensimmäisenn tunnin esimerkkitehtävästä.
Vain kolme vaihtoehtoa (5, 5 , 0,50), (5, 0,50, 5) ja (0,50, 5, 5). Summataan näiden todennäköisyydet:
(3/10 x 2/9 x 2/8) (3/10 x 2/9 x 2/8) (2/10 x 3/9 x 2/8) = 12/720 12/720 12/720 = 36/720 = 1/20
... mutta binomikerroin-ratkaisu oli ainakin minulle helpompi ja nopeampi ekasta oppitunnista lähtien. Selitän sen tässä siinä toivossa, että sekin nähtäisiin 'perustason' ratkaisuna:
nCr = n!/((n-r)!r!) , missä n! = 1*2*...*n .
nCr, eli 'n choose r' kertoo kuinka monella tavalla voimme valita n-kokoisesta joukosta r alkiota.
On helppo vakuuttua n!/((n-r)!r!) kaavasta, jos sitä katsoo vähän aikaa:
1) n!/r! = n*...*(r 1) on luku joka kertoo kuinka monella tavalla voimme valita r alkiota, jos järjestys otetaan huomioon. (n mahdollisuutta ekalle, n-1 tokalle jne...)
2) Kun jaamme luvun mahdollisten järjestysten kokonaismäärällä, eli luvulla r!, saamme mitä halusimme.
(3C2)(5C0)(2C1)/(10C3) = 1/20
Ratkaisevaa on huomata, että 3 5 2 = 10 ja 2 0 1 = 3.
***
Esimerkki: 14 esineestä valitaan satunnaisesti 6. Esineistä sinisiä on 5, punaisia 3, ja vihreitä 6.
Millä todennäköisyydellä valitsemme 2 kutakin väriä?
(5C2)(3C2)(6C2) / (14C6) = 150/1001
Huomaa, että 5 3 6 = 14 ja 2 2 2 = 6.
Ajatus menee näin: Valitaan ensin kaksi sinistä -- sitten kutakin edellistä valintatapaa kohden valitaan 2 punaista jne...