Tuolla alempana oli keskustelua kiintopistelauseesta ja suppenemisehdoista.
Jostain mieleeni tuli ääretönulotteiset avaruudet & kiintopistelause. Onko lause voimassa sellaisenaan myös ääretönuloitteisissa avaruuksissa? Itse en enää muista edes sitä, miten Cauchy -jono konstruoitiin tässä tapauksessa.
Jostain mieleeni tuli ääretönulotteiset avaruudet & kiintopistelause. Onko lause voimassa sellaisenaan myös ääretönuloitteisissa avaruuksissa? Itse en enää muista edes sitä, miten Cauchy -jono konstruoitiin tässä tapauksessa.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Todistus ei ottanut kantaa ulottuvuuksien määrään, vaan ainoa ehto oli 'täydellinen metrinen avaruus'.
Esim. mikä tahansa niin sanottu Banach-avaruus (eli täydellinen normitettu avaruus) on tällainen, ja näistä erikoistapauksena voi mainita Hilbert-avaruudet (eli Euklidinen Banach-avaruus).
Mistä tahansa funktioanalyysin ('functional analysis', usein myös kutsuttu 'linear analysis') tekstistä voit tarkistaa, miten normit määritellään. Sieltä löydät myös esimerkkejä Cauchy-jonoista.
Kun pysytään äärellisulotteisissa avaruuksissa, niin väliarvolause, kolmioepäyhtälö ja kiintopistelause ovat tavallaan "yksinkertaisia" - tuttuja reaalilukujen matematiikasta. Analogia R:stä R^n:ään on melkeimpä intuitiivisesti selvä (n < infty).
Mutta kun siirrytään ääretönuloitteisiin (normi)avaruuksiin, muistaakseni yo. lauseiden todistaminen oli hankalampaa?
Miten esimerkiksi kiintopistelauseen todistus menee R^infty:ssä? Linkki sopivalle sivulle riittää.
Metrisen avaruuden määritelmään kuuluu, että esim. kolmioepäyhtälö toimii. :)
Kiintopistelauseen todistus on yleinen, ja pätee Mihin Tahansa 'täydelliseen metriseen avaruuteen', olkoon sillä ääretön tai äärellinen määrä ulottuvuuksia.
Emme tee mitään sellaisia oletuksia todistuksessamme, joka estäisi sen toimimisen mille tahansa täydelliselle metriselle avaruudelle.
Normitettu avaruus on myös metrinen, ottamalla d(x,y) = ||x-y||.
Haluaisin vaan virkistää muistiani, miten lauseiden todistukset menevät, kun kyseessä ovat ääretonulotteiset avaruudet.
Ollaan koulunpenkillä. Lauseet ovat juuri todistettu esimerkiksi R^n:lle, n < infty. Seuraavaksi siirrytään käsittelemään avaruutta R^infty. Miten opettaja jatkaa?
Niin, minkä lauseiden todistukset tarkalleen ottaen?
Itse esitin kiintopistearvolauseen yleisen todistuksen kaikille täydellisille metrisille avaruuksille. Opettaja käyttäisi tietenkin tätä yleistystä.
Ei ole mitään syytä todistaa lausetta erikseen jokaiselle avaruudelle ja jokaiselle normille. ;)
Muuten mitä tarkoitat notaatiolla R^infty? Tarkoitatko jonoavaruutta l_infty, tai l_2?
Ei mennä niin pitkälle :)
Oletetaan, että kurssin aiheena on ääretönulotteiset avaruudet. Miten opettaja aloittaa luennon - esitietoina oletetaan esimerkiksi R^n:n tuntemus.
... siten, että määrittelisi l_p -jonoavaruudet, ja vakuuttaisi yleisön, että ne ovat oikein määriteltyjä normiavaruuksia. :) Ne ovat lähimpänä sitä, mihin viittasit R^infty-ajatuksella.
l_p on joukko äärettömiä jonoja (in R tai C), siten että normi on tyypillinen p-juuri-normi, (SUM(x_i)^p)^(1/p), mutta joukkoon l_p otetaan vain ne pisteet joille normi suppenee.
l_infty on samanlainen: normi on sup(x_i), missä joukkoon kelpuutetaan vain sellaiset jonot joille sup(x_i) < infty.
Mutta "hyppäys" R:stä R^2:een (ja edelleen R^n:ään) on varmaankin kaikille intuitiivinen (normin määrittelyineen & väliarvo- ja kiintopistelauseiden todistuksineen).
Ainakin minusta siirtyminen ääretönulotteisiin avaruuksiin ja niiden analogia äärellisulotteisten avaruuksien kanssa ei ole ollenkaan "helppo".
No, pitää etsiä sopiva opus käteen oman muistini virkistämiseksi.
... helppo, ainakaan niille ihmisille, jotka eivät ole nähneet abstraktimpeja metrisiä avaruuksia kuin R^n.
Sen sijaan abstrakteja metrisiä ja topologisia avaruuksia tunteva ymmärtää helpommin myös ääretönulottuvuuksisia. Siksi suosittelen lukemaan ohuen kirjan 'Sutherland: Introduction to Metric and Topological Spaces'.
Tai vaihtoehtoisesti nämä luennot: http://people.pwf.cam.ac.uk/nk283/topology.zip
Ne eivät sisällä juurikaan ääretönulottuvuuksisia avaruuksia, mutta auttavat ajattelemaan metrisiä avaruuksia laajemmin kuin R^n, mikä helpottaa.
Hyppäys ääretönulotteisiin avaruuksiin R^n:stä onkin vallan iso, eikä samankaltaisuutta ole ehkä niin paljon kuin toivoisit.
Seuraavassa linkissä näkyy tuo todistus nätisti ja erityisesti Cauchyn jono konstruoinnin riippumattomuus lauseen metrisen avaruuden dimensiosta. Oletuksina käytetään ainoastaan täydellisen metrisen avaruuden ja kutistavan kuvauksen määritelmiä. Tämähän näkyy jo lauseen oletuksistakin.
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3581
... turhan pitkä ja sekava todistus.
Aiemmassa ketjussa kirjoittamani todistus on helpompi muistaa ulkoa.
Esim. Kun tiedetään, että jono suppenee vaikkapa x:ään, voimme käyttää kutistuvan kuvauksen jatkuvuutta:
(x_i ---> x) ==> (f(x_i) ---> f(x) ).
Mutta f(x_i) on jonona sama kuin x_i, joten f(x)=x . (Metriset avaruudet ovat Hausdorff, joten raja-arvot ovat ainutkertaisia.)
Tuo on käsittääkseni täsmälleen sama todistus kuin esittämäsi. Minusta todistus helppo muistaa, koska se nojaa lähinnä geometriseen sarjaan. Asiat tulevat melkein itsestään tuosta jonon generoinnin jälkeen. Tämä on toki makuasia.
Kiitokset linkistä. Todistus on mielestäni selkeä, eikä sen ymmärtämiseen tarvitse kummoisiakaan matematiikan "taitoja".
Todistus todellakin on yksi helpoimmista 'suurista' todistuksista, vaikka linkintakainen versio onkin ehkä hieman ylimuodollinen...