Tälläinen tehtävä, kun on:
Olkoon (G,*) sellainen ryhmä, että (a*b)^2=a^2*b^2, aina kun a,b kuuluvat G:n. Tämä pitäisi sitten todistaa olevan Abelin ryhmä.
Niin onko tämä hyvä (oikea) todistus?
(a*b)^2=(a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b
Joten
a*(b*a)*b = a^2*b^2
a^(-1)*a*(b*a)*b = a^(-1)*a^2*b^2
e*b*a*b = a*b^2
b*a*b*b^(-1) = a*b^2*b^(-1)
b*a = a*b
QED.
Olkoon (G,*) sellainen ryhmä, että (a*b)^2=a^2*b^2, aina kun a,b kuuluvat G:n. Tämä pitäisi sitten todistaa olevan Abelin ryhmä.
Niin onko tämä hyvä (oikea) todistus?
(a*b)^2=(a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b
Joten
a*(b*a)*b = a^2*b^2
a^(-1)*a*(b*a)*b = a^(-1)*a^2*b^2
e*b*a*b = a*b^2
b*a*b*b^(-1) = a*b^2*b^(-1)
b*a = a*b
QED.
Vastaukset 2
Vanhimmat
Hyvinhän tuo meni, koska kyseessä on ryhmän perusmääritelmän käyttö. niin voisit alustaa tehtävän vaikka seuraavasti:
Olkoon (mitkä tahansa) a,b in G. Koska (G,*) on ryhmä niin osittelulaki on voimassa ja on olemassa alkioiden käänteisalkiot a^-1 ja b^-1.
Osoitamme, että ab=ba. Nyt...
...
Siis Abelin ryhmä, mitä hartaasti toivottiin todistettavaksi.
... virke "Koska (G,*) on ryhmä niin osittelulaki on voimassa ja on olemassa alkioiden käänteisalkiot a^-1 ja b^-1. " ei ole tarvittava, eikä kukaan varmasti kirjoittaisikaan sitä alas.
Ryhmän määritelmään kuuluu vain kolme ominaisuutta, joten ei varmastikaan ole tarkoituksenmukaista mainita näistä erikseen joka kerta kun niitä käyttää. (Toki aloittelija saattaa laittaa pienen merkinnän marginaaliin, omaksi avukseen.)
Sen sijaan on totta, että pienikin todistus pitää rakentaa tyyliin:
Väite: Ryhmän G alkioille a ja b, ab=ba.
Blaah blaah blaah...
QED