A:lla on säästössä 2 kertaa enemmän rahaa kuin B:llä. Hänen rahansa kuitenkin vähenevät 10% vuodessa kun taas B:n rahat lisääntyvät 10% vuodessa. Koska heillä on yhtä paljon rahaa.
Jos joku viitsisi auttaa esimerkin kera. Kiitos!
Jos joku viitsisi auttaa esimerkin kera. Kiitos!
Vastaukset 5
Vanhimmat
Olkoon A:n säästön määrä alussa {a0}, jolloin B:n säästöt ovat alussa 0,5{a0}.
Vuoden kuluttua A:lla 0,9*{a0} ja kahden vuoden kuluttua (0,9)^2*{a0} = 0,81{a0}.
Vastaavasti B:llä vuoden kuluttua 0,5*1,1*{a0} = 0,55{a0} ja kahden vuoden kuluttua 0,5*(1,1)^2*{a0} = 0,605{a0}.
Säästöjen määrälle ajan hetkellä n voidaan kirjoittaa yhtälöt:
A:lle
{an} = {a0}*(0,9)^n
ja B:lle
{bn} = 0,5{a0}*(1,1)^n
, missä n on aika vuosissa.
Säästöt ovat yhtä suuret, kun
{a0}*(0,9)^n = 0,5{a0}*(1,1)^n
(0,9)^n = 0,5*(1,1)^n
...Tästä eteenpäin en osaa auttaa ratkaisussa, koska lukion jälkeen (10 vuodessa) olen unohtanut liikaa laskukaavoja. :-)
Haarukoinnilla saadaan vastaus ~3,454 vuotta, jolloin molemmilla on säästöjä ~0,695{a0}.
päästä alkuun!
(0,9)^n = (0,5)*(1,1)^n ratkaistaan näin:
(0,9)^n : (1,1)^n = 0,5
(0,9 : 1,1)^n = 0,5
a-kantanen logaritmi x:stä = y on yhtäpitävä
a^y = x
eli
(0,9 : 1,1)-kantanen log 0,5:stä = n
n = lg 0,5 / lg (0,9 : 1,1)
ja tuon saa laskimesta (lg eli kymmenkantainen logaritmi saattaa olla myös nimellä log laskimessa)
em.
... tarvita. Okei, tässä ratkaisu:
(Oletan, että tarkoitat 'kaksinkertainen määrä', kun sanot 'kaksi kertaa enemmän'. )
Olkoon x(t) A:n rahan määrä, ja y(t) B:n rahan määrä, kun aikaa on kulunut t.
x(0) = 2y(0) .
x(t 1) = 0.9*x(t) ja y(t 1) = 1.1*y(t) , kun n=0,1,2,...
Huomaa, että induktiivisesti x(t) = 0.9^t*x(0) ja y(t) = 1.1^t*y(0) .
Ratkaisemme 0.9^t*(2y(0)) = 1.1^t*y(0) .
Ellei rahaa ole molemmilla ikuisesti 0 euroa, voimme jakaa molemmat puolet termillä y(0).
Eli (0.9/1.1)^t = 1/2 .
Vastaus on siis laskimella log(1/2)/log(0.9/1.1) = 3.454.
Eli heillä ei ole itse asiassa koskaan yhtä paljon rahaa, sillä korko maksetaan vuosittain, eikä sitä jaeta tasaisesti vuoden eri päiville. ;)