Hitsi
Matematiikassa puhutaan yksikäsitteisistä todistuksista. Mitä se oikeasti tarkoittaa, kun en millään ymmärrä. Esimerkiksi miten osoitetaan, että käänteiskuvaus on yksikäsitteinen. Onko jossakin kirjassa siitä esittelyä.
Apuva
Matematiikassa puhutaan yksikäsitteisistä todistuksista. Mitä se oikeasti tarkoittaa, kun en millään ymmärrä. Esimerkiksi miten osoitetaan, että käänteiskuvaus on yksikäsitteinen. Onko jossakin kirjassa siitä esittelyä.
Apuva
Vastaukset 7
Vanhimmat
"Matematiikassa puhutaan yksikäsitteisistä todistuksista."
Yleensä puhutaan yksikäsitteisyystodistuksesta. Siinä todistetaan, että jokin on yksikäsitteinen.
Yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että on olemassa vain yksi mahdollinen tapaus.
Jos tarkastelemme lukua 12, niin sen voi esittää useilla tavoilla kahden positiivisen kokonaisluvun tulona.
12 = 2 * 6 = 3 * 4
Täten esitys luvulle 12 muodossa m*n EI ole yksikäsitteinen. Sen sijaan luvun 12 tekijöihinjako alkuluvuissa on yksikäsitteinen järjestystä lukuunottamatta. 12 = 2 * 2 * 3
Siis kun yrität jakaa lukua 12 alkutekijöihin, et voi saada mitään muuta kuin tämän yhden (yksikäsitteisen) ratkaisun. (Muistat varmasti, että alkuluku on aina suurempi kuin yksi, ja ykkönen on ns. yksikkö.)
Tyypillinen yksikäsitteisyyden todistus etenee niin, että oletetaan olevan kaksi eri ratkaisua (tai tutkittavaa oliota) ja tutkitaan, miten ne voisivat erota. Sitten paljastuu, että eroja ei voi olla. Tulos on se, että aina kun valitaan kaksi ratkaisua, niiden täytyy olla samat. Siten kaikki ratkaisut ovat samoja.
Käänteiskuvaukset sitten. Olkoon f kuvaus joukosta X joukkoon Y. Olkoon g ja g' sen käänteiskuvauksia joukosta Y joukkoon X.
Osoitetaan, että g ja g' ovat sama kuvaus vastaoletuksen kautta. Oletetaan siis, että ne eivät olisi.
Silloin on olemassa alkio y kuuluu Y:hyn, jolle g (y) /= g' (y).
Koska g ja g' ovat f:n käänteiskuvauksia, silloin y on f:n kohdejoukossa ja jollakin x pätee f(x) = y.
Siispä g(f(x)) /= g'(f(x)).
Nyt koska f ja g, sekä f ja g', ovat käänteiskuvauksia, ne voidaan kumota keskenään (*).
Seuraa x /= x.
Tämä on ristiriita, koska x ei voi olla erisuuri itsensä kanssa. Siispä g ja g' ovat sama kuvaus ja todistus on valmis.
Pitää lähteä määritelmistä ja löytää tie eteenpäin. Annoin tästä lyhyen mallin. Kohdassa (*) yllä tein kyllä vähän vilunkia. Miten pitäisi ottaa huomioon se, että kuvaukset voivat tuoda useita arvoja y:ksi tai x:ksi?
"Kohdassa (*) yllä tein kyllä vähän vilunkia. Miten pitäisi ottaa huomioon se, että kuvaukset voivat tuoda useita arvoja y:ksi tai x:ksi?"
Itse lähtisin siitä, ettei se voi kuvatutua muiksi, koska sen on oltava bijektio ( omaa käänteiskuvauksen)
ei se menekään noin. for get te previous one.
... kuin voisi kuvitella.
Kirjoitamme x(P) jos matemaattinen objekti x toteuttaa ehdon P.
x on yksiselitteinen P:n toteuttaja, jos y(P) ==> y=x.
Siinä kaikki.
Kiitos vaan teille molemmille. Olen lueskellut aika paljon kirjoja ja yleensä yksikäsitteisyydestä ei puhuta kovinkaan paljon, mutta siihen viitataan tämän tästä todistuksissa.
hauskaa viikonvaihdetta
moi
On usein vähän tulkinnanvaraista, miten määrittelemme '='-merkin tuossa yllä olevassa määritelmässä.
Esim. ryhmille '=' tarkoittaa isomorfisuutta. Alkulukutekijäihin jakamisessa '=' ei yleensä ota kantaa siihen missä järjestyksessä tekijät kirjoitetaan... jne.
Filosofointia '=' -määritelmistä voi lukea täällä: http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf
Seuraava ei ole vielä tainnut tulla esille.
Yksikäsitteinen on sanana vähän outo nykysuomea puhuvan korvassa. Sitä ei taideta juurikaan käyttää matematiikan ulkopuolella. "Ainutlaatuinen" olisi ehkä ymmärrettävämpi. Kyseesssä on siis englannin sanan "unique" vastine. Mikähän on sama saksaksi tai ruotsiksi? Jommasta kummasta näistä kielistä se varmaankin on tullut.
Siis jos jokin x on yksikäsitteinen, se on ainutlaatuinen eli tällaisia x:iä on tasan yksi.