Pohdinpahan tässä sellaista juttua, että minkälaisten lukujen neliö on palindromiluku (siis sama kirjoitettuna kumminkinpäin esim. luku 12321).
Kokeilemalla huomasin, että kaikki kokeilemani luvut, joissa on "10...01 tai 20...02" tuottavat korotettuna 2. potenssiin palindromiluvun.
Senhän näkee helposti, kun otetaan se luku kertaa 1*10^n, missä n on luvun "pituus 1:n jälkeen". Ja sitten vielä 1 kerran, jolloin saadaan sattumaan ne "keskiykköset" kohdakkain ja ne tekevät kaksi. (Tai vastaavasti tuossa "2" tapauksessa.) Saatavat neliöluvut ovat muotoa 10...020..01 (20...040...02).
Lisäksi Kokelemalla huomasin että lukujen 22 ja 11,111,111...111111 neliöluvut ovat palindromeja. Onko noille pelkistä ykkösistä koostuville luvuille tuo väite totta kaikille? Sitä en osaa itse todistaa. Jos vielä jätetään huomioimatta triviaalit luvut 1,2 ja 3 (--> 1,4 ja 9), niin onko muunlaisia kyseisen asian toteuttavia lukuja?
No tulipas sepustettua, en kyllä tiedä onko tämä ihan joutavanpäiväistä huuhaata, mutta pohdiskelinpahan vain... ;)
Kokeilemalla huomasin, että kaikki kokeilemani luvut, joissa on "10...01 tai 20...02" tuottavat korotettuna 2. potenssiin palindromiluvun.
Senhän näkee helposti, kun otetaan se luku kertaa 1*10^n, missä n on luvun "pituus 1:n jälkeen". Ja sitten vielä 1 kerran, jolloin saadaan sattumaan ne "keskiykköset" kohdakkain ja ne tekevät kaksi. (Tai vastaavasti tuossa "2" tapauksessa.) Saatavat neliöluvut ovat muotoa 10...020..01 (20...040...02).
Lisäksi Kokelemalla huomasin että lukujen 22 ja 11,111,111...111111 neliöluvut ovat palindromeja. Onko noille pelkistä ykkösistä koostuville luvuille tuo väite totta kaikille? Sitä en osaa itse todistaa. Jos vielä jätetään huomioimatta triviaalit luvut 1,2 ja 3 (--> 1,4 ja 9), niin onko muunlaisia kyseisen asian toteuttavia lukuja?
No tulipas sepustettua, en kyllä tiedä onko tämä ihan joutavanpäiväistä huuhaata, mutta pohdiskelinpahan vain... ;)
Vastaukset 1
Vanhimmat
... että moiset pohdinnat olisivat 'joutavanpäiväistä huuhaata' ei ole mitään perustelua -- nimittäin melkein kaikki matikka olisi siinä tapauksessa 'joutavanpäiväistä huuhaata', mitä se ei kuitenkaan ole. :) Samankaltaisista ajatusleikeistä on johdettu maailmaa mullistavaa matikkaa.
Tästäkään ongelmasta ei tiedetä vielä ihan kaikkea (eli kysymys ei ole helppo!) Esim. on avoin hypoteesi, että parillisen mittainen palindromi-neliö ei voi loppua vitoseen.
Palindromi-neliöt eivät koskaan pääty numeroihin 2,3,7,8 .
1111^2 = 1234321
11111^2 = 123454321
jne...
111111111^2 = 12345678987654321
MUTTA 1111111111^2 = 1234567900987654321 ei ole palindromi, sillä kasi puuttuu välistä.
Kuten itsekin totesit, ne palindromi-neliöt, joiden kantaluku on palindromi ovat helposti ymmärrettävissä. Ne palindromi-neliöt, joiden kantaluvut eivät ole palindromeja ovat kiinnostavampia.
Täällä on listattu näitä lukuja: http://www.fengyuan.com/palindrome.html