Joitakin funktioiden integraaleja ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla. Mistä löytyisi esimerkki, jossa TODISTETAAN että jonkin funktion integraali ei ole esitettävissä (äärellisellä määrällä) alkeisfunktioiden avulla.
Alkeisfunktioitahan ovat exp, log, trigonometriset, arkusfunktiot, potenssit, näiden yhdistelmät ja funktiot jotka näistä on saatu ,-,*,/ ja juurenoton avulla.
Tiedän esimerkiksi että f(x)=exp(x^2) integraalia ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla. Mutta mistä löytyisi vaikka todistus että tätä kyseistä funktiota ei voida esittää.
Kirjallisuusvinkki tai mielummin linkki jos löytyy.
Alkeisfunktioitahan ovat exp, log, trigonometriset, arkusfunktiot, potenssit, näiden yhdistelmät ja funktiot jotka näistä on saatu ,-,*,/ ja juurenoton avulla.
Tiedän esimerkiksi että f(x)=exp(x^2) integraalia ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla. Mutta mistä löytyisi vaikka todistus että tätä kyseistä funktiota ei voida esittää.
Kirjallisuusvinkki tai mielummin linkki jos löytyy.
Vastaukset 2
Vanhimmat
Kannattaa etsiä jostain yliopistotason matematiikan kirjasta hakusanaa Rischin algoritmi. Sillä voi todistaa, että jokin alkeisfunktioista koostuvan funktion integraali ei ole esitettävissä alkeisfunktioiden äärellisenä kombinaationa. Rischin alkuperäinen artikkeli löytyy muistaakseni myös JSTOResta. Sarjakehitelmillä voi käsittääkseni todistaa joidenkin integraalien olevan mahdotonta esittää alkeisfunktioiden äärellisenä kombinaationa, mutta en ole perehtynyt asiaan.
Timo Nevalan gradu/lisuri "Miksi funktiota x |-> e^{x^2} ei voi integroida alkeisfunktioiden avulla?" varmaankin vastaa toiveisiisi. Linkki löytyy sivulta
http://www.math.jyu.fi/~tnevala/tekstit.html#tngradu