Mitenkä seuraava tehtävä ratkaistaan matemaattisesti?
On annettu kaksi euron kolikkoa tasossa, jotka sivuavat toisiaan. Toista kolikkoa pidetään paikallaan ja toinen kolikko pyörähtää puoli kierrosta kolikon toiselle puolelle. (Siis jos kolikoiden keskipisteet ovat alussa (0,0) ja (0,1) ja kolikoiden säteet 1/2, on lopussa kolikoiden keskipisteet tason pisteissä (0,2) ja (0,1)). Osoita, että ensimmäinen kolikko on pyörähtänyt täsmälleen kierroksen, eli jos ykkönen osoitti alussa ylöspäin, se osoittaa myös lopussa ylöspäin.
On annettu kaksi euron kolikkoa tasossa, jotka sivuavat toisiaan. Toista kolikkoa pidetään paikallaan ja toinen kolikko pyörähtää puoli kierrosta kolikon toiselle puolelle. (Siis jos kolikoiden keskipisteet ovat alussa (0,0) ja (0,1) ja kolikoiden säteet 1/2, on lopussa kolikoiden keskipisteet tason pisteissä (0,2) ja (0,1)). Osoita, että ensimmäinen kolikko on pyörähtänyt täsmälleen kierroksen, eli jos ykkönen osoitti alussa ylöspäin, se osoittaa myös lopussa ylöspäin.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Mieti rotaatiota kahden funktion kompositiona.
Yksi niistä on f(x) = x, eli identiteetti välillä [0,PI] ja kuvailee kulman avulla sitä pyörivän kolikon kohtaa, joka kulloinkin osuu fiksattuun kolikkoon.
Toinen on g(x), missä g on yksinkertaisesti pyöritettävän kolikon keskipisteen rotaatio annetun kulman verran vastapäivään (fiksatun kolikon keskipisteen ympäri).
Tarkista, että jatkuva funktio gf kuvailee juuri sitä mitä haluat, eli että gf(PI) = (0,2).
Oikeastaan tämä on vain hienostunut tapa sanoa seuraava: Kun kosketuskohta on muuttunut puolen kolikon verran, (kummassakin kolikossa!), kosketuskohta on fiksatun kolikon ylälaidassa, ja pyöritettävän alalaidassa. (Ja koska liike oli jatkuvaa, ainoa tapa päätyä tähän on ollut tehdä täysi kierros pyörivällä kolikolla.) Tämän pitäisi olla täysin itsestään selvää intuitiivisesti.
Jos et ole vakuuttunut, voit kuvata ekplisiittisesti pyörivän kolikon ylälaidan sijainnin eri ajanhetkinä, ja tarkistaa, että kaikki on kunnossa.
Aivan totta! Kiitos! Eikö kuitenkin pitäisi myös osoittaa, että gf(x) on injektio välillä [0,pii], jotta kierroksia tulisi täsmälleen yksi? Tämä on kuitenkin helppoa.
Injektioksi osoittamisen tarpeellisuus siis. Hyvä.
Tulipa mieleeni, että näyttäisi olevan mahdollista ratkaista myös yleinen tapaus: Kolikko vierii pitkin parametrisoitua tasokäyrää pisteestä A pisteeseen B. Montako kierrosta se pyörähtää matkan aikana?
Täytyy olettaa, että käyrän kaarevuussäde on vähintään sama kuin kolikolla. Kokeilemalla voi havaita, että tulokseen vaikuttavat kolikon säde, käyrän pituus ja kaarevuus ja vielä se, kummalla puolella käyrää vieriminen tapahtuu. Veikkaan että tulos on jonkin sortin viivaintegraali.